Diskutiere folgende Funktionen.
;
Lösung anzeigen
Definitionsbereich festlegen
Bestimme den Definitionsbereich.
Nullstellen des Nenner
Setze den Nenner der Funktion gleich 0.
Umformung: \sqrt{ }
Definitionslücken des Logarithmus
Der ln muss immer positiv sein.
Umformung: \cdot x^2
Da immer positiv ist, muss keine Fallunterscheidung durchgeführt werden.
Umformung: -2
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen
ist für gleich 0. Finde also die x-Werte, sodass
Umformung: \cdot x^2
Umformung: -x^2
Mitternachtsformel anwenden.
Ableitungen bilden
Bestimme die Ableitungen.
1. Ableitung
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.
Mit Hilfe der Kettenregel ableiten, nachdifferenzieren mit der Quotientenregel.
Im Zähler des zweiten Bruchs ausmultiplizieren.
Gleiche Elemente zusammenfassen.
2. Ableitung
Berechne die Ableitungen von Zähler (u') und Nenner (v').
Quotientenregel anwenden.
Ausmultiplizieren
Gleiche Elemente zusammenfassen.
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
x-Werte bestimmen
Zum Bestimmen der Extrema wird der Zähler der ersten Ableitung gleich Null gesetzt.
Umformung: +x
Da der x-Wert nicht Element des Definitionsbereiches ist, hat die Funktion keine Extrema.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme die Wendepunkte.
x-Werte bestimmen
Zum Bestimmen der Wendepunkt wird der Zähler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.
Mitternachtsformel verwenden.
Da bei das Innere des Logarithmus negativ ist, gibt es nur für einen Wendepunkt.
Grenzwertbetrachtung
Betrachte die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs.
Betrachtet werden muss das Verhalten an den Definitionslücken sowie gegen -2 und .
Grenzwert bei 0
Annäherung von links.
Annäherung von rechts.
Grenzwert bei -2
Annäherung von rechts
Grenzwert gegen
Symmetrieverhalten
Untersuche das Symmetrieverhalten.
Setze für ein.
Da weder noch ist, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung .
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.
Vorzeichen von | + | / | - |
/ |
Lösung anzeigen
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
Nullstellen des Nenners
Setze den Nenner des Bruchs gleich 0.
Definitionsbereich des Logarithmus
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
ist dann positiv, wenn x positiv ist.
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen.
Setze die Funktion gleich 0.
Betrachet werden muss, wann die einzelnen Produkte gleich 0 werden.
Da 2 eine Konstante ist und in der ersten Klammer x nur im Nenner vorkommt, können beide nicht 0 werden.
Betrachte werden muss also nur die zweite Klammer.
Umformung: -1
Umformung: :2
e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
Umformung: \cdot2
Ab hier kann man die Formel noch ein wenig umstellen mithilfe von Potenzgesetzen.
Ableitungen bilden
1. Ableitung
Zur Vereinfachung den Exponenten in die Klammer ziehen .
Bilde nun die Ableitung. Für den zweiten Summanden die Produktregel verwenden, wobei gil:
In der letzten Summe multiplizieren .
Gleiche Elemente zusammenfassen.
2. Ableitung
Getrennte Ableitung von und bilden und mithilfe der Produktregel die zweite Ableitung bestimmen.
Wende die Produktregel an.
Vereinfache.
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
x-Werte bestimmen
Setze die Funktion gleich 0.
Das Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
Der erste Faktor kann nie 0 sein, da kein x im Zähler vorkommt.
Der zweite Faktor ( ln ) ist dann 0, wenn das Innere des ln = 1 ist.
Umformung: \cdot2
Art des Extremums bestimmen
Gefundenes x=2 einsetzen.
Da ist an der Stelle ein Maximum.
y-Wert bestimmen
Gefundenes einsetzen.
hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten .
Wendepunkte bestimmen
x-Werte bestimmen
Setze die Funktion gleich 0.
Das Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
Der erste Faktor kann nie 0 sein, da kein x im Zähler vorkommt, daher wird nur der zweite Faktor betrachtet.
Umformung: +1
Umformung: :3
e-Funktion anwenden.
Umformung: \cdot2
y-Wert bestimmen
Gefundenes einsetzen
ln und e hebt sich auf. Exponent in die Klammer ziehen.
Grenzwertbetrachtung
Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und .
Grenzwert bei 0
Annäherung von rechts an 0.
Grenzwert bei
Annäherung an .
Symmetrieverhalten
Überprüfe das Symmetrieverhalten.
Die Funktion ist nur rechts der y-Achse definiert.
Daher kann die Funktion nicht punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur y-Achse sein.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.
Vorzeichen von f'(x) | + | 0 | - |
Hochpunkt |
Lösung anzeigen
Definitionsbereich festlegen
Bestimme den Definitionsbereich.
Nullstellen des Nenner
Setze den Nenner der Funktion gleich 0.
Definitionsbereich des Logarithmus
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen.
Setze den Zähler der Funktion gleich 0.
Umformung: -1
e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
Ableitungen bilden
Berechne die Ableitungen.
1. Ableitung
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.
Quotientenregel anwenden.
2. Ableitung
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs.
Quotientenregel anwenden.
Mit kürzen.
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
x-Werte bestimmen
Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.
e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
Art des Extremums bestimmen
Gefundenes x=1 einsetzen.
Da ist an der Stelle ein Maximum.
y-Wert bestimmen
Gefundenes einsetzen.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme den Wendepunkt.
x-Werte bestimmen
Es wird nur der Zähler der zweiten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.
Umformung: +2\ln x
Umformung: :2
e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
y-Wert bestimmen
Gefundenes einsetzen.
ln und e heben sich auf.
Grenzwertbetrachtung
Untersuche die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs.
Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und .
Grenzwert bei 0
Annäherung von rechts an 0.
Grenzwert bei
Annäherung an .
Satz von l'Hospital anwenden.
Symmetrieverhalten
Betrachte das Symmetrieverhalten.
Die Funktion ist nur rechts der y-Achse definiert.
Daher kann die Funktion nicht punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur y-Achse sein.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.
Lösung anzeigen
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
Nullstellen des Nenner
Setze den Nenner des Bruchs gleich 0.
e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
Definitionsbereich des Logarithmus
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
Nullstellenbestimmung
Bestimme alle Nullstellen.
Da im Zähler der Funktion kein Element mit vorkommt, hat die Funktion keine Nullstellen.
Ableitungen bilden
Bilde Ableitungen.
1. Ableitung
Wandle zuerst die Funktion ein wenig um.
Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.
Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.
Potenzgesetze anwenden.
2. Ableitung
Wandle zunächst die 1. Ableitung um.
Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.
Mit Hilfe der Kettenregel ableiten, mit Hilfe der Produktregel nachdifferenzieren.
Potenzgesetze anwenden.
Mit kürzen.
Ausmultiplizieren und gleiche Elemente zusammenfassen.
-1 ausklammern.
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
x-Werte bestimmen
Zähler der ersten Ableitung untersuchen.
Da der Zähler der ersten Ableitung keine Elemente mit x enthält, hat keine Extrema.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme die Wendepunkte.
x-Werte bestimmen
Zähler der ersten Ableitung gleich 0 setzen.
Umformung: -1
e-Funktion auf beiden Seiten anwenden.
Potenzgesetze anwenden.
y-Wert bestimmen
Gefundenes einsetzen.
Grenzwertbetrachtung
Betrachte die Grenzwerte an den Rändern des Definitonsbereichs.
Betrachtet werden muss das Verhalten gegen 0 (von rechts) und sowie an der Definitionslücke.
Grenzwert bei 0
Annäherung von rechts an 0.
Grenzwert bei
Annäherung an .
Grenzwert bei e
Annäherung von links an e.
Annäherung von rechts an e.
Symmetrieverhalten
Betrachte das Symmetrieverhalten.
Da f(x) nur rechts von der y-Achse existiert, kann die Funktion weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung sein.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.
Vorzeichen von | + | 0 | + |
Lösung anzeigen
Definitionsbereich festlegen
Bestimme den Definitionsbereich.
Nullstellen des Nenners
Setze den Nenner der Funktion gleich 0.
Setze beide Seiten der Gleichung als Exponent der e-Funktion , um nach x aufzulösen (da ).
Definitionsbereich der ln-Funktion
Da die ln-Funktion nur für positive x definiert ist, sind für f(x) auch nur positive x-Werte zuässig.
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen.
Da der Zähler der Funktion keine Nullstelle besitzt, besitzt f(x) ebenfalls keine Nullstelle.
Ableitungen bilden
Bilde Ableitungen.
1. Ableitung
Wende die Quotientenregel an, um diese gebrochen rationale Funktion abzuleiten.
2. Ableitung
Wende erneut die Quotientenregel an. Zu beachten ist, dass bei der Ableitung des Nenners die Produktregel angewandt werden muss. Der Nenner wird im folgenden gesondert abgeleitet.
Um abzuleiten, wende die Kettenregel an.
Der erste Summand des Zählers wird Null, da mit Null multipliziert wird. In der Ableitung des Nenners kann mit x gekürzt werden. Im Nenner des Bruches werden die Potenzgesetze angewendet.
Klammere im Zähler ln(x) aus.
Kürze den Bruch mit ln(x)
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
x-Werte bestimmen
Da der Zähler der ersten Ableitung keine Nullstelle besitzt, hat keine Extrema.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme den Wendepunkt
x-Werte bestimmen
Um die Wendepunkte von zu ermitteln, setze den Zähler der zweiten Ableitung gleich Null.
Umformung: -2
Setze beide Seiten der Gleichung als Exponent der e-Funktion, um nach x aufzulösen (da ).
Zu Prüfen wäre nun noch, ob der ermittelte x-Wert nicht ebenfalls Nullstelle des Nenners ist (in diesem Fall wäre die Funktion an der ermittelten Stelle nicht definiert). Allerdings ist dies hier nicht der Fall, wie schnell ersichtlich wird, wenn man die beiden Faktoren des Nenners betrachtet ( ist stets positiv und hat an der Stelle x=1 die Nullstelle).
Koordinate des Wendepunktes bestimmen
Setze hierzu den ermittelten x-Wert als Argument in f(x) ein.
WEP
Grenzwertbetrachtung
Bestimme die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs.
Betrachtet werden muss das Verhalten an der Definitionslücke (x=1) sowie an den Rändern der Definitionsmenge (0 und )
Grenzwert an der Definitionslücke x=1
Annäherung von links:
nähert sich der Null von links; ist also negativ, wodurch der gesamte Grenzwert negativ ist.
Annäherung von rechts:
nähert sich der Null von rechts; ist also positiv, wodurch der gesamte Grenzwert postiv ist.
Grenzwert bei 0
Annäherung nur von rechts, da .
Das Minus neben der Null deutet an, dass sich der Graph der Null von unterhalb der x-Achse nähert.
Grenzwert gegen
Symmetrieverhalten
Bestimme das Symmetrieverhalten.
Setze in als Argument (statt ) ein.
Achtung: Da , liegt nicht im Definitionsbereich, wodurch der Graph der Funktion keine Symmetrie aufweißt.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt und lässt Aussagen über die Steigung von zu.
Betrachtet werden müssen die Intervalle der Definitionsmenge , also von Null bis zur Definitionslücke bei 1 und von 1 bis Unendlich.
In der gesamten Definitionsmenge von f(x) ist die erste Ableitung negativ, aufgrund des Faktors -1 vor dem Bruch (der Nenner des Bruchs ist stets positiv).
Vorzeichen von | - | - |