Graphen können achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sein.
Bei einer Achsensymmetrie zur y-Achse gilt:
Man sagt auch: die Funktion f ist gerade.
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung gilt:
Man sagt auch: die Funktion f ist ungerade.
Bestimmung der Symmetrie
Mit folgenden Schritten kannst du herausfinden, ob der Graph einer gegebenen Funktion
- achsensymmetrisch zur -Achse oder
- punktsymmetrisch zum Ursprung ist
Bemerkung
Wenn gilt, ist der Graph von nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Der Graph kann aber immer noch zu einer anderen Achse symmetrisch sein (z.B. zu ) ODER
- ist zu keiner Achse symmetrisch
Wenn ist, lässt sich daraus nur schließen, dass der Graph von nicht punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
- Der Graph kann aber immer noch zu einem anderen Punkt symmetrisch sein (z.B. zu ) ODER
- ist zu keinem Punkt symmetrisch.
Beispiele
Beispiel 1)
Gegeben ist die Funktion . Wir wollen untersuchen, ob der Graph von achsensymmetrisch zur -Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dafür setzen wir in den Wert ein:
Setze in statt den Wert ein.
Vereinfache.
und somit: Der Graph von ist achsensymmetrisch zur -Achse.
Dass die Rechnung stimmt, sieht man auch, wenn man den Graphen von ansieht.
Beispiel 2)
Gegeben ist die Funktion . Wir untersuchen, ob der Graph von achsensymmetrisch zur -Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dafür setzen wir in den Wert ein.
Setze in statt den Wert ein.
Vereinfache.
Ziehe das Minus im Zähler vor den Bruch.
und somit: Der Graph von ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Zeichnet man den Graphen von , sieht man die Punktsymmetrie zum Ursprung.
Beispiel 3)
Gegeben ist die Funktion . Wir untersuchen, ob der Graph von achsensymmetrisch zur -Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dafür setzen wir in den Wert ein.
Setze in statt den Wert ein.
Vereinfache.
Ziehe das Minus im Zähler vor den Bruch.
ist also weder noch und somit weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Bemerkung: ist zwar nicht punktsymmetrisch zum Ursprung, aber zu einem anderen Punkt - und zwar zum Punkt .
Hilfreiche Regel für Polynomfunktionen
Auch bei Polynomen kannst du überprüfen, ob entweder oder entspricht. Die folgenden Regeln zeigen dir, wie es schneller gehen kann:
Warum gelten diese Regeln?
Für die Achsensymmetrie von zur -Achse muss gelten: . Das bedeutet, dass jedes Minus von wegfallen muss. Nur so kann identisch zu sein.
Wir wissen, dass ein Minus beim Quadrieren wegfällt: , weil Minus mal Minus Plus ergibt. Genauso ergibt beispielsweise und , weil wir im übertragenen Sinne immer eine gerade Anzahl von Minuszeichen multiplizieren. Das ergibt immer Plus:
Enthält ein Polynom also nur Terme mit geraden Potenzen bzw. konstante Terme, entfällt das Minus immer. ist dann achsensymmetrisch zur -Achse.
Enthält ein Polynom hingegen nur ungerade Potenzen, bleibt beim Potenzieren immer ein Minus übrig:
Deswegen ergibt beispielsweise und . Dann lassen sich diese Minuszeichen als Faktor -1 ausklammern, und es gilt: . Die Funktion ist dann also punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beispiele
- Das Polynom ist achsensymmetrisch zur -Achse, da es nur die geraden Potenzen , sowie die (für die Konstante ) enthält.
- Das Polynom ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da es nur die ungeraden Potenzen und enthält.
- Das Polynom ist weder achsensymmetrisch zur -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung, da es sowohl gerade (), die Null sowie ungerade () Potenzen enthält.
Warum ist es wichtig auszumultiplizieren
Untersuche, ob achsensymmetrisch zur -Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Man könnte denken, dass punktsymmetrisch zum Ursprung ist, weil der einzige Exponent die ist und man so leicht denken kann, dass nur ungerade Exponenten hat.
Allerdings handelt es sich bei der Darstellung nicht um ein vollständig ausmultipliziertes Polynom. Um den oben vorgestellten Trick anwenden zu können, musst du vorher daher jedes Polynom zuerst ausmultiplizieren:
Wir teilen das auf in eine Klammer zum Quadrat mal eine Klammer hoch 1
Auf die Klammer zum Quadrat können wir nun die 2. binomische Formel anwenden
Nun können wir wie gewohnt ausmultiplizieren, also jedes Element mit jedem Element der anderen Klammer multiplizieren
Diesen langen Term können wir noch zusammenfassen
Wir können also auch vollständig ausmultipliziert schreiben als: . An dieser Darstellungsform erkennen wir, dass also sowohl gerade, als auch ungerade Exponenten besitzt. ist deshalb weder achsensymmetrisch zur -Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Es ist deshalb sehr wichtig, dass du vor der Anwendung des Tricks das Polynom ausmultiplizierst. Die Formel bzw. kannst du hingegen immer anwenden, auch ohne das Polynom vorher auszumulitplizieren.
An diesem Beispiel siehst du auch, dass es falsch wäre zu schreiben, habe gar keine Symmetrie, denn wie du an der Graphik erkennen kannst, ist punktsymmetrisch zum Punkt - nur eben nicht zum Ursprung.
Video zur Symmetrie
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Hilfreiche Regel für gebrochenrationale Funktionen
Auch bei gebrochenrationalen Funktionen kannst du überprüfen, ob entweder oder entspricht. Die folgenden Regeln zeigen dir, wie es schneller gehen kann:
Beispiele
Beispiel 1)
Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur -Achse, weil der Graph der Zählerfunktion achsensymmetrisch zur -Achse ist und der Graph der Nennerfunktion wegen achsensymmetrisch zur -Achse ist.
Beispiel 2)
Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil der Graph der Zählerfunktion wegen punktsymmetrisch zum Ursprung ist und der Graph der Nennerfunktion achsensymmetrisch zur -Achse ist.
Beispiel 3)
Gegeben ist die Funktion . Der Graph der Nennerfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil diese Polynomfunktion nur ungerade Exponenten enthält. Der Graph der Polynom-Zählerfunktion ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung, noch achsensymmetrisch zur -Achse, weil sie sowohl gerade als auch ungerade Exponenten enthält. Deshalb ist auch der Graph der gesamten Funktion weder achsensymmetrisch zur -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Symmetrie von Ableitungen und Stammfunktionen
Symmetrie von Ableitungen
Allgemein gilt:
- Ist der Graph einer Funktion punktsymmetrisch zu einem Punkt , dann ist der Graph der Ableitungsfunktion achsensymmetrisch zur Achse .
- Ist der Graph einer Funktion achsensymmetrisch zur Achse , dann ist der Graph der Ableitungsfunktion punktsymmetrisch zum Punkt .
Beispiele
Der braune Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Der grüne Graph der Ableitungsfunktion ist eine Parabel, die achsensymmetrisch zur -Achse ist.
Der rote Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur -Achse. Leitet man ab, so erhält man dessen Graph du hier in dunkelblau sehen kannst. Der Graph von der Ableitungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Der Graph der Funktion ist hier in orange zu sehen. Er ist punktsymmetrisch zum markierten Punkt . Leitet man ab, so erhält man die Ableitungsfunktion . Ihr Graph ist in lila dargestellt. Der Graph von ist eine Parabel, die achsensymmetrisch zur Achse ist. Die -Koordinate des Symmetriepunktes von entspricht also genau der Symmetrieachse der Ableitungsfunktion .
Der braune Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur Achse . Indem du ableitest, erhältst du . Den Graphen von kannst du hier in dunkelgrün sehen. Du siehst, dass punktsymmetrisch zum Punkt ist. Die -Koordinate dieses Punktes liegt genau auf der Symmetrieachse von . Die -Koordinate des Symmetriepunktes ist
Symmetrie von Stammfunktionen
Allgemein gilt:
- Aus der Punktsymmetrie des Graphen von zu einem allgemeinen Punkt lassen sich keine allgemeinen Symmetrieregeln für den Graphen von ableiten.
- Ist der Graph von achsensymmetrisch zu einer Achse , dann ist der Graph von punktsymmetrisch zu einem Punkt, der auf dieser Symmetrieachse liegt, d.h. zum Punkt . Dabei ist eine "wählbare" -Koordinate, die von der Verschiebung der Stammfunktion in -Richtung abhängt.
Beispiele
Die Parabel ist achsensymmetrisch zur -Achse. Eine zugehörige Stammfunktion ist hier in dunkelblau dargestellt. Diese ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Allerdings dürfen wir aufgrund der Integrationskonstante beliebig in -Richtung nach oben und unten verschieben. könnte daher also beispielsweise bei Verschiebung um Einheiten nach oben auch punktsymmetrisch zum Punkt sein. Aber egal, um wie viel wir nach oben und unten verschieben: die -Koordinate des Symmetriepunkts liegt stets auf der -Achse.
Die in schwarz dargestellte Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. ist eine mögliche Stammfunktion von . Diese ist achsensymmetrisch zur -Achse.
Die hier blau dargestellte Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt . Eine mögliche Stammfunktion kannst du in orange sehen. ist weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt - unabhängig davon, wie man die Stammfunktion nach oben und unten in -Richtung verschiebt.
Die lila Parabel ist achsensymmetrisch zur Achse . Eine zugehörige Stammfunktion (hier in grün) ist punktsymmetrisch zum Punkt . Du darfst aufgrund der Integrationskonstante beliebig in -Richtung nach oben und unten verschieben. Dann ändert sich die -Koordinate des Symmetriepunktes, aber die -Koordinate wird immer bei bleiben - also auf der Symmetrieachse der Parabel liegen.
Allgemeine Symmetrie
Der Graph einer Funktion kann im Allgemeinen nicht nur achsensymmetrisch zur -Achse, sondern auch zu einer beliebig anderen senkrechten Achse achsensymmetrisch sein.
Beispielsweise ist die Funktion achsensymmetrisch zur Achse .
Analog kann der Graph einer Funktion auch zu einem beliebigen anderen Punkt - als nur zum Ursprung - punktsymmetrisch sein.
Zum Beispiel ist die Funktion punktsymmetrisch zum Punkt .
Überprüfung, ob zu einer bekannten allgemeinen Achse achsensymmetrisch ist
Die y-Achse ist der Spezialfall .
Beispiel
Überprüfe, ob die Funktion achsensymmetrisch zur Achse ist.
Als Erstes berechnen wir .
Dafür setzen wir in den Funktionsterm ein
Wir wenden die binomische Formel an und multiplizieren aus
Nun fassen wir zusammen
Also ist .
Als Nächstes berechnen wir .
Dafür setzen wir in den Funktionsterm ein
Wir wenden die binomische Formel an und multiplizieren aus
Nun fassen wir zusammen
Also ist .
Sowohl als auch . Weil bei beiden dasselbe herauskommt, ist tatsächlich achsensymmetrisch zur Achse .
Überprüfung, ob zu einem bekannten allgemeinen Punkt punktsymmetrisch ist
Der Ursprung ist der Spezialfall .
Beispiel
Prüfe, ob die Funktion punktsymmetrisch zum Punkt ist.
Als Erstes berechnen wir
Dafür setzen wir im Funktionsterm für ein und addieren am Ende noch
Vereinfachen
Also ist .
Als Nächstes berechnen wir
Dafür setzen wir für ein, multiplizieren den Funktionsterm mit und ziehen ab Schluss noch die ab.
Vereinfachen
Jetzt lösen wir die Minusklammer auf
Also ist , genauso wie . Deswegen ist punktsymmetrisch zu .
Allgemeine Symmetrieachse eines Funktionsgraphen berechnen
1) Berechnung für Polynomfunktionen
Nur Polynomfunktion geraden Grades kommen für Achsensymmetrie infrage.
Hinweis: Die Proberechnung ist in diesem Fall unerlässlich, weil wir zu Beginn der Rechnung gar nicht wissen, ob der Graph von überhaupt achsensymmetrisch ist.
Warum kann ich mit diesem Vorgehen die Symmetrieachse berechnen?
Aus den Regeln zur Symmetrie von Ableitungsfunktionen folgt: Wenn der Graph einer Funktion achsensymmetrisch zu ist, dann ist der Graph von punktsymmetrisch zu .
Leitet man ein weiteres Mal ab, so ist der Graph von wieder achsensymmetrisch zur Achse . ist dann wieder punktsymmetrisch zu usw..
Weil der Grad unserer Funktion definitiv eine gerade Zahl ist, ist die -te Ableitung von eine "ungerade" Ableitung, also beispielsweise die dritte Ableitung , falls vierten Grades ist.
Diese ungerade Ableitungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt . Um zu erhalten, können wir daher die Nullstellen dieser -ten Ableitung berechnen. Die Symmetrieachse von verläuft dann senkrecht durch diese Nullstelle .
Beispiel
Wir wollen die Symmetrieachse der Funktion berechnen.
Die Funktion ist . Grades, deshalb berechnen wir nun die -te Ableitung, also die . Ableitung:
Als Nächstes berechnen wir die Nullstelle der dritten Ableitung:
Umformung: -72
Umformung: :24
Eine mögliche Symmetrieachse von ist also .
Durch eine Proberechnung mit können wir feststellen, dass es sich hierbei wirklich um die Symmetrieachse von handelt.
2) Berechnung für gebrochenrationale Funktionen
Hier fehlt noch eine Erklärung der Berechnung der Achsensymmetrie von gebrochenrationalen Funktionen.
Allgemeinen Symmetriepunkt eines Funktionsgraphen berechnen
1) Berechnung für Polynomfunktionen
Nur Polynomfunktionen ungeraden Grades kommen für die Punktsymmetrie infrage.
Hinweis: Die Proberechnung ist in diesem Fall unerlässlich, weil wir zu Beginn der Rechnung gar nicht wissen, ob der Graph von überhaupt punktsymmetrisch ist.
Warum kann ich mit diesem Vorgehen den Symmetriepunkt berechnen?
Aus den Regeln zur Symmetrie von Ableitungsfunktionen folgt: Wenn der Graph einer Funktion punktsymmetrisch zum Punkt ist, dann ist der Graph von achsensymmetrisch zu .
Leitet man ein weiteres Mal ab, so ist der Graph von punktsymmetrisch zum Punkt . ist dann wieder achsensymmetrisch zu usw..
Die -Koordinate unseres Symmetriepunktes geht uns zwar bei diesem Verfahren verloren. Allerdings können wir berechnen und dann in den Funktionsterm einsetzen, um zu erhalten:
Weil der Grad unserer Funktion definitiv eine ungerade Zahl ist, ist die -te Ableitung von eine "gerade" Ableitung, also beispielsweise die zweite Ableitung , falls dritten Grades ist.
Diese gerade Ableitungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt . Um zu erhalten, können wir daher die Nullstellen dieser -ten Ableitung berechnen.
Die -Koordinate unseres Symmetriepunktes geht uns zwar bei diesem Verfahren "verloren". Allerdings können wir berechnen und dann in den Funktionsterm einsetzen, um zu erhalten:
Beispiel
Wir wollen berechnen, zu welchem Punkt der Graph der Funktion punktsymmetrisch ist.
ist eine Polynomfunktion dritten Grades. Deshalb berechnen wir nun die -te Ableitung, also die zweite Ableitung:
Nun berechnen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung:
Umformung: +6
Umformung: :2
Die -Koordinate des potentiellen Symmetriepunktes ist also . Um die -Koordinate des Punktes zu erhalten, setzen wir die -Koordinate in ein:
Der mögliche Symmetriepunkt von ist also .
Durch eine Proberechnung mit können wir feststellen, dass es sich hierbei wirklich um den Symmetriepunkt von handelt.
2) Berechnung für gebrochenrationale Funktionen
Hier fehlt noch eine Erklärung der Berechnung der Punktsymmetrie von gebrochenrationalen Funktionen.
Eingebetteter Serlo-Inhalt