Die Exponentialfunktion mit der Basis , der Eulerschen Zahl, wird natürliche Exponentialfunktion oder auch -Funktion genannt. Ihre Funktionsvorschrift ist:
Besonderheit
- Die Exponentialfunktion erfüllt in allen Punkten die Eigenschaft (dies wird auch als definierende Eigenschaft der e-Funktion bezeichnet)
- Die Vielfachen der e-Funktion sind die einzigen Funktionen mit der Eigenschaft:
Eigenschaften
Die -Funktion hat die gleichen Eigenschaften wie Exponentialfunktionen zu beliebigen positiven Basen. Weil , ist sie streng monoton steigend.
Graph der -Funktion:
Beziehung zu anderen Funktionen
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion der -Funktion ist der natürliche Logarithmus. Für gilt also:
Ableitung und Stammfunktion
Wie bereits erwähnt gilt:
Folglich ist die Stammfunktion , denn .
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