Die Logarithmusfunktion mit der Basis , der Eulerschen Zahl, wird natürlicher Logarithmus oder auch -Funktion genannt. Ihre Funktionsvorschrift ist:
Dabei bezeichnet den Logarithmus zur Basis , also .
Eigenschaften
Die -Funktion hat die gleichen Eigenschaften wie Logarithmusfunktionen zu beliebigen Basen. Weil ist sie monoton steigend.
Graph der -Funktion:
Beziehung zu anderen Funktionen
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion der -Funktion ist die -Funktion. Für gilt also:
Ableitung
Die Ableitung von , ist gegeben durch:
Herleitung der Ableitung
Sind die Umkehrfunktion und ihre Ableitung bekannt, kann man mithilfe der Umkehrregel die Ableitung der Funktion berechnen:
Sind und differenzierbar, dann gilt mit :
Im Fall heißt das:
Stammfunktion
Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion zu lautet:
Zur Herleitung bzw. Berechnung der Stammfunktion siehe den Artikel Partielle Integration.
Beliebige Logarithmusfunktion als ln-Funktion
Einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis (mit , ), kannst du über folgende Formel in eine ln-Funktion überführen:
Warum gilt diese Formel?
Die Formel ist eine Sonderform der Formel zum Basiswechsel von Logarithmusfunktionen. Sieh in den Artikel zur Logarithmusfunktion, um die Begründung der Formel nachzulesen.