Mithilfe der sogenannten "Mitternachtsformel" (auch "Lösungsformel", abc-Formel oder "Quadratische Lösungsformel" genannt) lassen sich quadratische Gleichungen lösen und so Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen. Quadratische Gleichungen lassen sich auch mithilfe der pq-Formel, einer Alternative zur Mitternachtsformel, lösen.
Die Mitternachtsformel
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Die Formel wird in Teilen Deutschlands umgangssprachlich als „Mitternachtsformel“ bezeichnet, weil Schüler sie auswendig kennen sollen, selbst wenn man sie um Mitternacht weckt. Quelle: Wikipedia
Anzahl der möglichen Lösungen
Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung von der Form ist abhängig von der Diskriminante . Die Diskriminante ist genau der Term, der in der Mitternachtsformel unter der Wurzel steht. Eine quadratische Gleichung hat:
- zwei Lösungen, falls
- genau eine Lösung, falls
- gar keine Lösung, falls .
Lösen einer quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel
Um eine quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel zu lösen, muss man aus der Form die Koeffizienten , und entnehmen und dann in die Mitternachtsformel einsetzen.
Vorgehen am Beispiel
Gleichung | Koeffizienten ablesen | Formel einsetzen |
|---|---|---|
Die Diskriminante ist , deshalb gibt es nur eine Lösung. Alternativer Lösungsweg: Man kann hier auch eine binomische Formel anwenden! | ||
Da unter der Wurzel eine negative Zahl steht (die Diskriminante ist kleiner als ) hat die Gleichung keine Lösung in den reellen Zahlen. |
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In folgendem Applet kannst du dir Schritt für Schritt eine Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel lösen lassen. Du siehst, wie sich die linke und rechte Seite der Gleichung als Graphen verändern und kannst in der Wertetabelle die Änderungen nachvollziehen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Koeffizienten finden in komplizierteren Fällen
Oft ist die quadratische Gleichung nicht bereits in der Form gegeben. Um auf diese Form zu gelangen, geht man typischerweise folgendermaßen vor:
Allgemeines Vorgehen | Vorgehen am Beispiel |
|---|---|
Gegebene Gleichung betrachten: | Gegeben ist die Gleichung: |
1. Gleichung umformen: Die quadratische Gleichung muss zunächst so umgeformt werden, dass auf einer der beiden Seiten 0 steht. | |
2. Gleichartige Terme zusammenfassen: Alle quadratischen Terme (Summanden mit ), alle linearen Terme (alle Summanden mit ) und alle konstanten Terme (reelle Zahlen) zusammenfassen. | |
3. Koeffizienten ablesen:
| |
4. In Mitternachtsformel einsetzen: Nun muss man die Werte (wie oben schon gezeigt) noch in die Mitternachtsformel einsetzen. | Ausführliche Lösung: |
Die Koeffizienten müssen nicht immer Zahlen sein, sie können auch Parameter enthalten. Mehr dazu findest du im Artikel Parameter in quadratischen Gleichungen.
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Herleitung der Mitternachtsformel
Um die Mitternachtsformel herzuleiten, löst man die allgemeine quadratische Gleichung
mithilfe der quadratischen Ergänzung.
Zuerst bringen wir auf die rechte Seite, indem wir subtrahieren.
Dann dividieren wir die Gleichung durch
Jetzt folgt die quadratische Ergänzung: Wir addieren auf beiden Seiten :
und wenden die 1. binomische Formel an, um die linke Seite als Quadrat zu schreiben:
Jetzt können wir nach auflösen, indem wir zuerst die Wurzel ziehen
und dann auf die andere Seite bringen
Im Prinzip sind wir fertig, wir haben eine Lösungsformel. Allerdings sieht die noch nicht ganz so aus wie gewünscht. Dazu formen wir den Term in der Wurzel um
und erhalten für die rechte Seite insgesamt
Damit haben wir die Mitternachtsformel
hergeleitet.
Die pq-Formel
Die pq-Formel wird in Teilen Deutschlands alternativ zur Mitternachtsformel benutzt. Auch sie dient der Lösung einer quadratischen Gleichung und ist etwas einfacher zu merken. Eine Voraussetzung ist jedoch, dass der Vorfaktor des quadratischen Summanden sein muss. Dazu sind eventuell Umformungen nötig.
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