In der Kurvendiskussion werden ausgewählte Eigenschaften einer Funktion und ihres Graphen systematisch untersucht und analysiert.
Bestandteile der Kurvendiskussion
Eigenschaften berechnen
Diese Liste enthält alle Eigenschaften, die man bei einer Funktion überprüfen kann:
- Definitionsbereich (mit Definitionslücken)
- Grenzwerte (an den Grenzen des Definitionsbereichs)
- Asymptoten
- Nullstellen
- Symmetrieverhalten
- Monotonieverhalten (über die erste Ableitung)
- Extrempunkte
- Krümmungsverhalten (über die zweite Ableitung)
- Wendepunkte und Terrassenpunkte
- Wertebereich
- Tangenten
- Stammfunktion
- Fläche unter dem Funktionsgraphen
Systematisches Vorgehen
- Vorbereitung: Ableitungen berechnenf'(x) für Monotonie und Extremaf''(x) für Krümmung und Wendepunktef'''(x) für Wendepunkt-Nachweis (falls nötig)
- Grundeigenschaften klärenDefinitionsbereich bestimmenSymmetrie überprüfenGrenzwerte berechnen
- Charakteristische Punkte findenNullstellen: f(x) = 0Extrema: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel oder f''(x) ≠ 0Wendepunkte: f''(x) = 0 und Vorzeichenwechsel oder f'''(x) ≠ 0
- Verhalten analysierenMonotonie über f'(x)Krümmung über f''(x)Asymptoten bestimmen
Graphen skizzieren
Bei einer Kurvendiskussion kann zusätzlich gefragt werden, den Graphen in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Die Skalierung wird so gewählt, dass die errechneten Eigenschaften sichtbar eingezeichnet werden können. Wichtige Punkte wie Nullstellen, Extrema und Wendepunkte werden deutlich gekennzeichnet.
Beispiel
Eigenschaft | Arbeitsweise mit der Funktion | Ergebnis | Erklärung |
|---|---|---|---|
Kritische Funktionen (Bruch, Wurzel, Logarithmus) überprüfen | |||
| Überlegen, was die Funktion an den Rändern ihres Definitionsbereichs macht | ||
nicht vorhanden |
| ||
Überprüfen, wann die Funktion wird. | |||
Achsensymmetrisch zur y-Achse | Mit den Formeln überprüfen, ob der Funktionsgraph ein Symmetriezentrum (Punkt, Achse) hat. | ||
steigend für fallend für | Das Vorzeichen der ersten Ableitung gibt an, ob die Funktion steigt (+) oder fällt (-). | ||
Minimum bei |
| ||
immer linksgekrümmt | Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt an, ob die Funktion linksgekrümmt (+) oder rechtsgekrümmt (-) ist. | ||
keine Wendepunkte | Wenn die zweite Ableitung ist, ist der Graph an dieser Stelle nicht gekrümmt und der Graph "wendet". | ||
Wenn am Wendepunkt zusätzlich eine waagerechte Tangente liegt, handelt es sich um einen Terrassenpunkt. | |||
Über Extrema und Grenzwerte die Grenzen des Wertebereichs bestimmen. | |||
Eine Steigungstangente an den Graphen legen. | |||
Über Integration die Stammfunktion finden. | |||
Über ein bestimmtes Integral die Fläche unter dem Funktionsgraphen zwischen zwei Werten berechnen. | |||
Graph skizzieren |  |
|
Beispielaufgaben
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Führe eine vollständige Kurvendiskussion der folgenden Funktionen durch:
Eingebetteter Serlo-Inhalt
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Führe eine vollständige Kurvendiskussion der folgenden Funktionen durch.
Eingebetteter Serlo-Inhalt
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Kurvendiskussion mit Parameter
Bei Funktionstermen, die zusätzlich zu den Variablen noch Parameter enthalten, muss man bei einer Kurvendiskussion zusätzlich auf Fallunterscheidungen achten.
Details und ein Rechenbeispiel findet man im Artikel Kurvendiskussion mit Parameter.
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