Diskutiere folgende Funktionen
Lösung anzeigen
Definitionsbereich festlegen
Bestimme zu erst den Definitionsbereich, indem du den Nenner der Funktion gleich setzt.
Umformung: +1
Logarithmus anwenden.
Somit ist der maximale Definitionsbereich .
Nullstellenbestimmung
Bestimme alle Nullstellen. Da im Zähler keine Elemente, die enthalten, vorkommen, hat die Funktion keine Nullstellen.
Ableitungen
Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.
1. Ableitung
Forme zuerst ein wenig um.
Eliminiere mithilfe der Potenzgesetze den Bruch.
Bestimme die Ableitung mithilfe der Kettenregel.
Wandle in einen Bruch um mithilfe der Potenzgesetze.
2. Ableitung
Berechne die Ableitungen von Zähler () und Nenner ().
Wende die Quotientenregel an.
Kürze mit .
Multipliziere aus.
Fasse gleiche Elemente zusammen.
Klammere aus.
Extrema bestimmen
Zum Bestimmen der Extrema wird der Zähler der ersten Ableitung gleich Null gesetzt.
Die -Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion keine Nullstelle besitzt.
Wendepunkte bestimmen
Zum Bestimmen der Wendepunkte wird der Zähler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.
Die -Funktion ist nie negativ oder gleich Null, deswegen sind weder das Innere der Klammer noch vor der Klammer gleich Null.
Also besitzt keine Wendepunkte.
Grenzwertbetrachtung
Da die Funktion eine Definitionslücke hat, muss das Verhalten gegen 0 und betrachtet werden.
Grenzwert gegen von links:
Grenzwert gegen von rechts:
Grenzwert gegen :
Grenzwert gegen :
Symmetrieverhalten
Überprüfe das Symmetrieverhalten.
Setze für ein.
Wende die Potenzgesetze an.
Da weder noch ist, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt:
|
|
| |
|---|---|---|---|
Vorzeichen von | - | \ | - |
|
| \ |
|
Lösung anzeigen
Definitionsbereich festlegen
Bestimme den Definitionsbereich. Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen der Funktion. Die -Funktion besitzt auf keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion ebenfalls keine besitzt.
Ableitungen
Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.
1. Ableitung
Die Ableitung von ist .
2. Ableitung
Die Ableitung von ist .
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
Da nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme die Wendepunkte.
Da nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.
Grenzwertbetrachtung
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen betrachtet werden.
Grenzwert gegen :
Damit besitzt eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an .
Grenzwert gegen :
Symmetrieverhalten
Untersuche das Symmetrieverhalten.
Ersetze durch .
Da weder noch ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
Monotonieverhalten
Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von .
Da keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von auch nicht. Betrache die Steigung daher an einer beliebigen Stelle, z. B. :
Damit ist die Funktion streng monoton fallend in .