Führe für jede Funktion jeweils eine vollständige Kurvendiskussion durch und zeichne die Graphen der Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem.
Folgende Aspekte werden in einer Kurvendiskussion untersucht:
- Definitionsbereich
- Nullstellen
- Symmetrieverhalten
- Extrem- und Wendepunkte
- Grenzwerte
- Monotonie
Lösung anzeigen
Definitionsbereich festlegen
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Um die Nullstellen von zu bestimmten, wird gesetzt.
Die erste Nullstelle muss erraten werden.
Ermittle die restlichen Nullstellen, da es sich um ein Polynom dritten Grades handelt, mit der Polynomdivision.
Polynomdivision
Setze die erhaltene Funktion gleich 0.
Ziehe die Wurzel aus und .
Symmetrieverhalten
Durch Betrachtung
Die Exponenten zur Basis sind sowohl gerade als auch ungerade.
Der Graph ist weder achsen- noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
Prüfen ob
Hiermit wird geprüft ob der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft
Der Graph ist nicht achsensymmetrisch, da .
Prüfen ob
Hiermit wird geprüft ob der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft.
Der Graph ist nicht punktsymmetrisch, da .
Ableitungen
Erste Ableitung
Zweite Ableitung
Die erste Ableitung von ist Ausgangspunkt für die zweite Ableitung.
Dritte Ableitung
Extrema bestimmen
Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung.
Da ein Polynom zweiten Grades ist, können seine Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel bestimmt werden.
Der erste -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion eingesetzt 0 ergibt.
Der zweite -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion eingesetzt 0 ergibt.
1. Extremum
-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.
Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt
Da hat an der Stelle einen Tiefpunkt .
2. Extremum
-Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.
Bilde den gemeinsamen Nenner der Summanden .
Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt
Da hat an der Stelle einen Hochpunkt .
Wendepunkte bestimmen
Wegen ist die Bedingung immer erfüllt.
Wendepunkt
Gefundenes aus der Nullsetzung der zweiten Ableitung in einsetzen.
Bilde einen gemeinsamen Nenner für alle Summanden.
Erster und einziger Wendepunkt der Funktion gefunden bei
Grenzwertbetrachtung
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen betrachtet werden.
Bei Polynomen wird der Grenzwert bei durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt:
und
Daher ist und .
Monotonieverhalten
Die Monotonie der Funktion wird mithilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
Lösung anzeigen
Definitionsbereich bestimmen
Da die Funktion ganzrational ist und keine Wurzeln oder Logarithmen aufweist, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Setze gleich , um die Nullstellen von zu bestimmen.
Bei dieser Gleichung findet man durch das systematische Einsetzen von ganzzahligen Werten keine Nullstelle. Durch Substitution allerdings lässt sich aus der biquadratischen Gleichung ein Polynom zweiten Grades formen. Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
Setze nun :
Zur Lösung dieser Gleichung verwendest du die Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
, und
Setze , und ein.
Du hast die beiden Lösungen
und erhalten.
Resubstitution:
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
Setze also bzw. und löse nach auf.
Umformung: \sqrt{}
Umformung: \sqrt{}
Der Graph der Funktion hat also insgesamt vier Nullstellen:
Ableitungen
Erste Ableitung:
Zweite Ableitung:
Extrema
Setze die erste Ableitung der Funktion gleich , um die Extrema von zu bestimmen.
ausklammern
Du hast die Gleichung erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst.
oder
Umformung: +8
Umformung: :8
Die Gleichung hat die beiden Lösungen und
1. Extremum
Zur Bestimmung des -Werts des Extremums muss der erste der gefundenen -Werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
Setze ein.
Um herauszufinden, ob der gefundene x-Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird in die zweite Ableitung eingesetzt.
Setze ein.
Da ist, befindet sich an der Stelle ein Hochpunkt.
2. Extremum
Zur Bestimmung des -Werts des Extremums muss der zweite der gefundenen -Werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
Um herauszufinden, ob der gefundene Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird in die zweite Ableitung eingesetzt.
Setze ein.
Da ist, befindet sich an der Stelle ein Tiefpunkt.
3. Extremum
Zur Bestimmung des -Werts des Extremums muss der dritte der gefundenen -Werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
Um herauszufinden, ob der gefundene Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird in die zweite Ableitung eingesetzt.
Setze ein.
Da ist, befindet sich an der Stelle ein Tiefpunkt.
Wendepunkte
Bestimme die -Koordinaten der möglichen Wendepunkte als Nullstellen der zweiten Ableitung:
Bestimme jetzt die Lösungen von :
Umformung: :24
Umformung: +\dfrac{1}{3}
Du hast die Gleichung erhalten. Sie hat die beiden Lösungen
Es gibt also die Kandidaten für die Wendepunkte und . Wenn an diesen Stellen die dritte Ableitung ungleich Null ist, ist die Bedingung für einen Wendepunkt erfüllt.
Berechne die dritte Ableitung und setze die möglichen Wendestellen ein:
Damit ist die Bedingung erfüllt.
Um die -Koordinaten zu berechnen, werden die -Werte in die Funktion eingesetzt:
Damit hast du die Wendepunkte berechnet:
Grenzwertbetrachtung
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten der Funktion für betrachtet werden.
gegen :
Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
gegen :
Symmetrie
Durch Betrachtung des Funktionsterms
Die Exponenten zur Basis sind alle gerade. Daraus folgt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft.
Durch Berechnung mit dem Kriterium
Da gleich ist, ist der Graph von achsensymmetrisch zur y-Achse.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
Hinweis: Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind in der Abbildung in aufsteigender Reihenfolge angegeben (im Gegensatz zur obigen Berechnung).
Lösung anzeigen
Definitionsbereich festlegen
Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder Logarithmen mit enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Um die Nullstellen von zu bestimmten, wird gesetzt.
Klammere aus und betrachte die Faktoren einzeln.
Ableitungen
Erste Ableitung
Zweite Ableitung
Extrema
x-Koordinaten bestimmen
ausklammern und die Faktoren einzeln betrachten.
oder
y-Koordinaten bestimmen
Setze die gefundenen -Werte in ein, um die -Koordinaten der Extrema zu erhalten.
da eine Nullstelle ist.
Prüfung auf Hoch- oder Tiefpunkt
Setze die gefundenen -Werte in ein, um zu bestimmen, ob es sich bei den Extrema um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.
Wendepunkt
Die zweite Ableitung wird gleich 0 gesetzt, um Wendepunkte zu bestimmen.
x-Koordinate des Wendepunkts
y-Koordinate des Wendepunkts
Das gefundene wird in die Funktion eingesetzt, um die -Koordinate des Wendepunkts zu bestimmen.
Grenzwertbetrachtung
. Da die Funktion keine Definitionslücken aufweist, muss nur das Grenzwertverhalten für untersucht werden.
Symmetrie
Die Exponenten zur Basis sind sowohl gerade als auch ungerade. Daraus folgt, dass der Graph weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch verläuft.
Die Symmetrie kann auch mithilfe des Funktionsterms bestimmt werden:
Da weder gleich noch ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
Lösung anzeigen
Definitionsbereich festlegen
Da die Variable der Funktion weder im Nenner eines Bruchs, noch in einem Logarithmusterm oder in einer Diskriminante vorkommt, können in der Funktion keine Definitionslücken vorkommen. Also liegt der Definitionsbereich von in ganz .
Nullstellenbestimmung
Um aus dem Polynom vierten Grades ein Polynom zweiten Grades zu erzeugen, wird das Substitutionsverfahren angewendet. Das funktioniert in diesem speziellen Fall, da der Funktionsterm biquadratisch ist, wie im Beispiel des Artikels Substitution.
Die Nullstellen von einem Polynom zweiten Grades werden jetzt mit der Mitternachtsformel ermittelt.
Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen.
Die Funktion hat keine Nullstellen.
Ableitungen
Erste Ableitung
Zweite Ableitung
Extrema bestimmen
Die erste Ableitung wird gleich gesetzt.
In dieser Gleichung kann ausgeklammert werden. . Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt die erste Nullstelle.
liefert zwei weitere Lösungen:
1. Extremum
Da kleiner , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Hochpunkt.
2. Extremum
Da größer , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Tiefpunkt.
3. Extremum
Da größer , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Tiefpunkt.
Wendepunkt
Die Wendepunkte werden berechnet, indem die zweite Ableitung null gesetzt wird.
y-Koordinaten bestimmen
Ergebnis
Grenzwertbetrachtung
. Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Grenzwertverhalten der Funktion für betrachtet werden.
gegen
gegen
Symmetrie
Da alle Exponenten zur Basis gerade sind, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch.
Das Kriterium von y-Achsensymmetrie lautet:
Durch Ersetzen von im rechten Funktionsterm mit wird überprüft, ob die Funktion eine y-Achsensymmetrie aufweist.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
