Es ist die Funktion gegeben.
Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von . Zeichne .
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Nullstellenbestimmung
Bestimme zuerst die Nullstellen von , indem du die Funktion gleich 0 setzt:
Die erste Nullstelle muss erraten werden. Durch ausprobieren ermittelt man beispielsweise
Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.
Die berechnete Funktion wird gleich 0 gesetzt um die beiden anderen Nullstellen zu ermitteln.
Löse beispielsweise mit der Mitternachtsformel.
Die Funktion hat demnach eine einfache Nullstelle bei und eine doppelte Nullstelle bei .
Ableiten
Leite die Funktion zweimal ab.
Extrema bestimmen
Setze die erste Ableitung gleich .
Umformung: +3
Umformung: :3
Extremum bei :
Setze in ein.
Setze in ein:
Da hat in einen Tiefpunkt.
Extremum bei :
Setze in ein.
Setze in ein:
Da hat in einen Hochpunkt.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme nun noch die Wendepunkte. Setze dazu gleich 0.
Umformung: :6
Setze in ein:
Da ist, gibt es einen Wendepunkt:
Der Wendepunkt lautet .
Graph der Funktion
Berechne die Gleichungen der Tangente und Normale im Wendepunkt.
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Tangente aufstellen
Stelle die Tangente im Wendepunkt auf.
Setze den x-Wert des Wendepunkts, also , in ein:
ist die Steigung der Tangente. Setze das bestimmte m und die Koordinaten des Wendepunkts in die allgemeine Geradengleichung ein, um zu bestimmen.
einsetzen
Setze in die Gleichung ein. und .
Mit und kannst du die Gleichung der Tangente aufstellen.
Die Gleichung der Tangente lautet t:
Normale aufstellen
Stelle die Normalengleichung auf. Für die Steigung der Normalen und die Steigung der Tangenten gilt:
Umformung: :\left(-3\right)
Das bestimmte und die Koordinaten des Wendepunkts kannst du in die allgemeinen Geradengleichung einsetzen, um zu bestimmen.
einsetzen.
Setze in die Gleichung ein. und .
Mit und kannst du die Gleichung der Tangente aufstellen.
Die Gleichung der Normale lautet :
Graph der Funktion mit Normale und Tangente
Berechne den Inhalt der beiden Flächenstücke, die von und der Normalen begrenzt sind.
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Zur Bestimmung des Integrals werden die Schnittpunkte der beiden Funktionen benötigt.
Schnittstelle der Funktionen berechnen
Setze beide Funktionen gleich.
Umformung: -\frac{1}{3}x+2
Die erste Nullstelle ist . Um die weiteren Nullstellen zu bestimmen, muss die Klammer berechnet werden.
Umformung: +\frac{10}{3}
Integral aufstellen
Es gibt zwei Flächen die durch die Schnitte entstehen.
Vereinfache zuerst den Integranden:
Integriere und dann
Die gesuchte Fläche hat den Flächeninhalt Flächeneinheiten.