Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und Extrema der folgenden Funktion:
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Definitionsbereich festlegen
Zunächst legst du den Defintionsbereich fest:
Setze den Nenner der Funktion gleich 0.
Umformung: +5
Wende den Logarithmus an.
Umformung: :2
Damit ist der maximale Definitionsbereich .
Nullstellenbestimmung
Bestimme nun die Nullstellen von f:
Setze den Zähler der Funktion gleich 0.
Umformung: +4
Wende den Logarithmus an.
Die einzige Nullstelle ist .
Ableitungen
Bilde die erste und zweite Ableitung von f:
1. Ableitung
Wende die Quotientenregel an.
Löse die Klammern auf.
Fasse gleiche Elemente zusammen.
2. Ableitung
Berechne die Ableitung von Zähler () und Nenner ().
Wende die Quotientenregel an.
Kürze mit .
Löse die Klammern auf.
Fasse gleiche Elemente zusammen.
Extrema bestimmen
Nun werden die Extrema bestimmt:
Es wird nur der Zähler der 1. Ableitung gleich 0 gesetzt, da ein Bruch 0 wird, wenn der Zähler 0 wird.
Substitution
Verwende die Substitution.
Klammere aus.
Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.
Für weitere Extrema wird nur das Innere der Klammer betrachtet.
Wende die Mitternachtsformel an.
Unter der Wurzel subtrahieren .
2 lässt sich aus der Wurzel ziehen.
Resubstitution
Verwende nun die Resubstitution:
Die Exponentialfunktion ist immer größer als 0. Die Gleichung ist daher nicht lösbar und keine Nullstelle.
Wende den Logarithmus an.
Wende den Logarithmus an.
-Werte bestimmen
einsetzen.
Erster Extrempunkt
einsetzen.
Zweiter Extrempunkt
Art der Extrema bestimmen
Setze ein.
Die 2. Ableitung ist größer 0, da Zähler und Nenner beide kleiner 0 sind. Also liegt an der Stelle ein Tiefpunkt vor.
Die 2. Ableitung ist kleiner 0, da der Zähler kleiner und der Nenner größer 0 ist. Also liegt an der Stelle ein Hochpunkt vor.