Das Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen an einer Stelle ist die Richtungsänderung in diesem Punkt.
Man unterscheidet rechtsgekrümmte und linksgekrümmte Abschnitte sowie Wendepunkte.
Meist interessiert man sich für das Krümmungsverhalten bestimmter Abschnitte des Graphen.
Dazu betrachtet man für aus einem bestimmten Abschnitt die zweite Ableitung:
linksgekrümmt
rechtsgekrümmt
Wie du Ableitungen berechnest, erfährst du im entsprechenden Artikel zu Ableitungen.
Merkhilfe rechts- und linksgekrümmt
Man überlegt sich, in welche Richtung man lenken müsste, wenn man mit einem Fahrrad den Funktionsgraphen nach abfahren würde. Die Richtung ist dann die Gleiche wie das Krümmungsverhalten.
Beispiel: Sinus-Funktion
Betrachtest du im Bereich .
- Die erste Ableitung der Funktion ist
- Die zweite Ableitung dieser Funktion ist .
- Die -Werte der Wendepunkte im Bereich sind , , .
Um zu berechnen, wie der Graph von im Bereich gekrümmt ist, setzt man einen Punkt aus diesem Intervall in die zweite Ableitung ein und betrachtet das Vorzeichen:
Es ist dabei egal, welchen Punkt aus dem Intervall man nimmt, denn das Krümmungsverhalten zwischen zwei Wendepunkten ändert sich nicht.
Man wählt zum Beispiel .
Der Graph von ist also im Bereich rechtsgekrümmt.
Mit dem gleichen Verfahren erhält man:
in linksgekrümmt
in rechtsgekrümmt
Beispiel: Quadratische Funktion
Gegeben ist eine quadratische Funktion in der Form mit .
Die zweite Ableitung dieser Funktion ist .
Da konstant und ungleich Null ist, besitzt keine Wendepunkte und behält also im gesamten Definitionsbereich das gleiche Krümmungsverhalten bei:
- Ist positiv, so ist linksgekrümmt (in der Grafik orange),
- Ist negativ, so ist rechtsgekrümmt (in der Grafik türkis).
