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Gesucht sind alle Stammfunktionen der Funktion . Aus der Tabelle von oben können wir ablesen, dass die Stammfunktionen sind.

Dies können wir auch überprüfen, indem wir ableiten. Wenn unsere Lösung stimmt, entspricht die Ableitung der Funktion : , weil die Ableitung vom Kosinus den negativen Sinus ergibt: .

Wir suchen die Stammfunktionen der Funktion . Hierfür wenden wir die in der oberen Tabelle angegebene Regel an:

Laut dieser sind die Stammfunktionen einer Potenzfunktion der Form gegeben durch: .

In unserem Fall ist und . Mit der Regel können wir die Stammfunktionen unserer Funktion angeben:

Wir wollen das unbestimmte Integral berechnen. In der dritten Zeile der ersten Tabelle finden wir, dass die Stammfunktionen hat.

Wir dürfen konstante Multiplikationsfaktoren, wie in unserem Beispiel, die vor das Integral ziehen: .

Weil wir aus der Tabelle entnommen haben, dass ist, können wir nun auch die Stammfunktionen von angeben:

Wir dürfen Summen und Differenzen im Integral zu mehreren Integralen aufsplitten:

Nun können wir auf jedes Glied einzeln die Integrationsregel für Potenzfunktionen aus der Tabelle oben anwenden. Für das erste Glied ist und . Für das zweite Glied ist und . Nun können wir die Integrale lösen:

Wir brauchen nur eine Konstante , weil die zwei Integrale und aus einem Integral, nämlich entstehen. Wir fassen nun zusammen:

Die Stammfunktionen von lauten also:

Berechne die Stammfunktionen der angegebenen Funktionen

Beispiel 1:

Wir wollen das unbestimmte Integral berechnen. Nun fällt uns auf, dass ja die Ableitung von ist, also . Damit wissen wir nun die Stammfunktion von , da die Ableitung die Umkehrung der Integration ist:

Beispiel 2:

Wir sollen das unbestimmte Integral berechnen. Wir überlegen uns dafür, welche Funktion man ableiten muss, damit man erhält. Hier fällt uns ein, denn wenn wir ableiten, erhalten wir . Damit ist eine Stammfunktion von . Also:

Hinweis: Das unbestimmte Integral kannst du auch mithilfe der oberen Integraltabelle berechnen. Hier findest du heraus, dass die Stammfunktionen von einer Potenzfunktion der Form (in unserem Fall ist und ) sind, also in unserem Fall:

Wir wollen das Integral durch Raten bestimmen.

Wir beginnen mit einer ersten geratenen Vermutung: . Wir überprüfen diese, indem wir mit der Kettenregel ableiten: . Das entspricht nicht der Funktion .

Um schneller zur Lösung zu kommen, überlegen wir uns anhand unserer ersten Vermutung Folgendes: Unsere gesuchte Stammfunktion muss die -Funktion enthalten, denn diese ergibt abgeleitet sich selbst. Als wir unsere erste Vermutung abgeleitet haben, haben wir die Kettenregel angewendet. Dadurch bleibt die -Funktion mit ihrem gesamten Exponenten auch in der Ableitungsfunktion erhalten: Auch hier hatten wir wieder das Glied . Also muss unsere Stammfunktion auf jeden Fall enthalten. Testen wir es!

Zweite Vermutung: . Wir bilden die Ableitung mit der Kettenregel: . Wir haben die Stammfunktion gefunden!

Graphische Integration

Manchmal ist nur der Graph der Funktion gegeben, zu dem du eine zugehörige Stammfunktion skizzieren sollst. Wenn kein Funktionsterm angegeben ist, ist keine Rechnung verlangt. In diesem Fall kannst du dir die Stammfunktion abschnittsweise graphisch überlegen. Hierbei helfen dir die folgenden Zusammenhänge:

{
  "src": "https://www.youtube.com/watch?v=NmYPOM9OLM4",
  "alt": ""
}

Beispiel

Skizziere eine Stammfunktion von .

Wir teilen uns die Funktion gedanklich in Abschnitte ein, zum Beispiel wo steigt, fällt und Extrema hat. Aus der obigen Tabelle lesen wir anschließend ab, welche Eigenschaften die Stammfunktion dann in diesem Abschnitt haben muss.

Mithilfe dieser Tabelle können wir nun die Stammfunktion in das Koordinatensystem skizzieren:

Hinweis: Zu einer Funktion gibt es nicht nur eine, sondern unendlich viele Stammfunktionen. Diese unterscheiden sich nur durch die Addition der Integrationskonstante . Graphisch gesehen kann der Funktionsgraph der Stammfunktion also beliebig nach oben und unten (d.h. in -Richtung) verschoben werden. Die oben eingezeichnete Stammfunktion stellt also nur eine mögliche Lösung dar. Genauso ist z.B. diese Funktion eine Stammfunktion von :

Diese ergibt sich, wenn man die obere Funktion um Einheiten nach unten verschiebt. Sie ist eine gleichwertige Lösung.

Berechne zu den gegebenen Funktionen die zugehörige Stammfunktion.

Grundsätzlich besitzt jede stetige Funktion eine Stammfunktion. Es gibt allerdings Funktionen, deren Stammfunktionen sich nicht durch elementare Funktionen, wie Potenz-, Wurzel-, Logarithmus- und Exponentialfunktionen, darstellen lassen. Diese Funktionen nennt man nicht geschlossen integrierbar.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion . Diese spielt in der Mathematik durchaus eine wichtige Rolle, beispielsweise als Normalverteilung.

Graphisch lässt sich zu dieser Funktion tatsächlich eine Stammfunktion skizzieren. Allerdings lässt sich diese Funktion nicht als Kombination elementarer Funktionen darstellen - es lässt sich beweisen, dass die Stammfunktion von nicht geschlossen integrierbar ist. Interessierte finden hier den Beweis.