Gegeben ist die Funktion mit und . Abbildung 1 zeigt den Graphen von sowie die einzige Nullstelle von .
Zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion von gilt: . (3 BE)
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Überlege dir für die Berechnung der Ableitung, an welche Regel du hier zuerst denken musst: Die Funktion besteht aus zwei Faktoren, in denen jeweils vorkommt, also brauchst du zuerst die Produktregel.
Die kommen jedoch immer im Exponenten von vor, es handelt sich deswegen zusätzlich um verkettete Funktionen. Denke also daran, bei der Ableitung von die Kettenregel zu verwenden. Beachte außerdem, dass konstante Summanden beim Ableiten wegfallen und die korrekte Ableitung einer -Funktion.
Um auf das in der Aufgabe gegebene Ergebnis von zu kommen, musst du den Faktor ausklammern:
Damit hast du also gezeigt, dass die Ableitung der Form ist.
Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von . (4 BE)
(Teilergebnis: x-Koordinate des Extrempunkts: )
Zusätzlich ist die Funktion mit und gegeben.
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Lage des Extrempunkts
Überlege dir zuerst, welche besondere Eigenschaft an einem Extrempunkt vorliegt. Hier besitzt die erste Ableitung eine Nullstelle. Das heißt, du musst die Nullstelle(n) der Ableitung herausfinden.
Die Ableitung besteht aus zwei Faktoren, also kannst du hier den Satz vom Nullprodukt verwenden und beide einzeln gleich setzen:
Du weißt allerdings, dass die -Funktion, egal was du in den Exponenten einsetzt, nie wird. Also kannst du diese Gleichung nicht lösen und deswegen gibt es von diesem Faktor keine Nullstelle.
Umformung: +4e^{-x}
Umformung: :4
Umformung: ln()
Umformung: ⋅(−1)
Die Ableitung wird also an der Stelle , das heißt, der Extrempunkt liegt an der Stelle . Um die Lage des Punktes vollständig zu beschreiben, brauchst du allerdings noch den zugehörigen -Wert. Diesen erhältst du, wenn du den -Wert in die Funktion einsetzt.
Der Extrempunkt hat also die Koordinaten .
Art des Extrempunkts
Um die Art eines Extrempunktes herauszufinden, hast du grundsätzlich zwei Möglichkeiten: Entweder du berechnest die zweite Ableitung und setzt den -Wert ein oder du stellst eine Monotonietabelle auf.
Hier wird exemplarisch das Vorgehen mit einer Monotonietabelle gezeigt:
Du rechnest also einen beliebigen Wert pro Intervall aus und trägst ein, ob dieser positiv oder negativ ist. Die Steigung ist vor dem Extrempunkt negativ, heißt der Graph fällt, und danach positiv, heißt, dass der Graph steigt. Also handelt es sich bei dem Extrempunkt um ein Minimum.
Zeigen Sie, dass eine Stammfunktion von ist, und begründen Sie anhand des Terms von , dass gilt. (3 BE)
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ist eine Stammfunktion
Um zu zeigen, dass eine Stammfunktion ist, musst du zeigen, dass die Ableitung von ist. Denke dazu wieder an die Kettenregel.
An dieser Stelle kannst du ausklammern (beachte hierzu die Potenzgesetze):
Damit hast du nachgewiesen, dass eine Stammfunktion ist.
Begründung für
soll sein, aber es kommt immer vor.Du musst dir also überlegen, was passiert, wenn du in die -Funktion einen sehr großen negativen Wert einsetzt. Die -Funktion ist dann fast , also kannst du schreiben.
Also gilt .
Der Graph von verläuft durch den Punkt . Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass keine größeren Werte als annehmen kann und bei eine Wendestelle besitzt. Berechnen Sie die y-Koordinate des zugehörigen Wendepunkts. (5 BE)
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kann keine größeren Werte als 0,5 annehmen.
Um Aussagen über den Verlauf von zu treffen, kannst du dir den Graphen von anschauen, da die Stammfunktion von ist und somit auch umgekehrt die Ableitung von .
Man sieht, dass (also hier deine Ableitung) an der Stelle eine Nullstelle hat. Daraus kann man folgern, dass an dieser Stelle einen Extrempunkt hat, weil seine Ableitung eine Nullstelle hat.
Da der Graph von wie man sehen kann vor der Nullstelle positiv ist und danach negativ ist, muss der Graph von vorher steigen und anschließend nur noch fallen, das heißt bei ist ein Maximum. Es ist außerdem das einzige Maximum und damit global.
Deswegen ist der -Wert an der Stelle der höchste -Wert von . Weil der -Wert an dieser Stelle ist, kann keine größeren Werte als annehmen.
Wendestelle von bei
Wendestellen kommen immer dort vor, wo die Ableitung einen Extrempunkt hat.
Also musst du dir wieder die Ableitung von , also hier ansehen. Du hast bereits in Teilaufgabe c) nachgerechnet, dass bei einen Extrempunkt hat, also muss hier eine Wendestelle haben.
-Koordinate des Wendepunkts
Um die -Koordinate des Wendepunkts zu bestimmen, musst du seine -Koordinate, also in einsetzen.
Die -Koordinate des Wendepunkts ist .
Zeichnen Sie den Graphen von unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse sowie des Funktionswerts im Bereich in Abbildung 1 ein. (4 BE)
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Um die bisherigen Ergebnisse zu beachten, solltest du die Punkte als Maximum und als Wendepunkt einzeichnen. Außerdem weißt du aus , dass gilt.
Der Graph von schließt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein, das durch das Dreieck mit Eckpunkten , und angenähert werden kann. Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Flächeninhalt des Dreiecks vom Inhalt des Flächenstücks abweicht. (4 BE)
Betrachtet wird nun die Integralfunktion mit und .
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Um die Abweichung zu berechnen, brauchst du als Erstes die Werte der beiden Flächen.
Bei dem Dreieck handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, das seine Grundseite entlang der -Achse hat und seine Höhe entlang der -Achse. Erstere ist lang und letztere lang.
Nach der Flächenformel des Dreiecks gilt demnach:
Den genauen Flächeninhalt berechnest du mittels eines Integrals. Die Grenzen sind und und auch die Stammfunktion ist dir bereits gegeben:
Um den prozentualen Unterschied zu berechen, berechnest du den absoluten Unterschied und teilst diesen durch den ursprünglichen Wert:
Die Abweichung beträgt also %.
Begründen Sie, dass mit der betrachteten Stammfunktion von übereinstimmt. Interpretieren Sie geometrisch den Wert mithilfe von in Abbildung 1 geeignet zu markierenden Flächenstücken. (4 BE)
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stimmt mit überein
Du kannst diese Aussage überprüfen, indem du ausrechnest, also ohne Integral schreibst:
Interpretation des Wertes
Du kannst an der Zeichnung erkennen, dass das Integral über eine Nullstelle verläuft. Nun verwendest du, dass du weißt, dass das Integral eine Flächenbilanz ist. Du ziehst also hier von dem Wert des Integrals von bis zur Nullstelle den Wert des Integrals von der Nullstelle bis ab.
Das kannst du nun noch graphisch veranschaulichen: Du subtrahierst also das rote Flächenstück vom orangen Flächenstück, um den Wert zu erhalten.
Geben Sie den Term einer in definierten Funktion an, die eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion von ist. (2 BE)
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Ein entscheidender Unterschied zwischen Stammfunktion und Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion immer eine Nullstelle haben muss (mindestens bei ihrer unteren Grenze), während die Stammfunktion zwar Nullstellen haben kann, aber nicht muss.
Das heißt, wenn du sichergehen willst, dass eine Funktion eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion ist, dann musst du eine Stammfunktion ohne Nullstelle finden.
Eine neue Stammfunktion erhältst du, wenn du zu einer alten eine Konstante addierst, weil Konstanten bekanntlich beim Ableiten wegfallen.
Über die gegebene Stammfunktion weißt du bereits, dass ihr größter -Wert bei liegt. Das heißt, wenn du die Funktion um mehr als nach unten verschiebst, ist ihr höchster -Wert kleiner als und die Funktion verläuft nur unterhalb der -Achse und hat somit keine Nullstellen.
Das heißt eine mögliche Stammfunktion wäre: