Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich üblich über die Formel
wobei die Grundlinie und die Höhe des Dreiecks ist.
Auf folgende andere Arten lässt sich der Flächeninhalt auch berechnen:
1. Berechnung mit zwei Seiten des Dreiecks (z.B. und ) und dem Sinus des Winkels dazwischen (hier ):
2. Berechnung mit dem Kreuzprodukt oder einer Determinante (nur im Koordinatensystem möglich)
Diese insgesamt 3 verschiedenen Berechnungsarten werden nun genauer erklärt.
Dreiecksfläche mit Grundlinie und Höhe berechnen
Dies ist die häufigst verwendete Methode. Man braucht dabei zur Berechnung der Dreiecksfläche
- die Grundlinie und
- die Höhe des Dreiecks.
Warum stimmt die Formel?
Die Formel dafür kann man dadurch erhalten, dass man das Dreieck zu einem (doppelt so großen) Rechteck ergänzt.
Genaueres dazu siehe im Artikel zur Herleitung der Formel der Dreiecksfläche.
Verschiedene Versionen der Formel
Grundlinie kann jede beliebige Seite des Dreiecks sein; muss aber die jeweils zugehörige Höhe sein. Damit kann die Formel in drei verschiedenen Formen erscheinen:
Grundlinie | Höhe | Formel | Darstellung |
|---|---|---|---|
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Übungsaufgaben (hier klicken)
Sonderfall: rechtwinkliges Dreieck
In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten und gilt:
(Die Formel gilt natürlich immer noch.)
Sonderfall: gleichseitiges Dreieck
In einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge gilt:
Dreiecksfläche mit dem Sinus berechnen
Wenn man bereits den Sinus kennt, kann man die Fläche eines Dreiecks auch mit folgenden Angaben berechnen:
- zwei Seitenlängen und
- dem Sinus des dazwischenliegenden Winkels
Also z.B.:
ODER
Statt kann natürlich auch jeder andere Winkel des Dreiecks betrachtet werden, und daher kann die Formel auch wieder in drei verschiedenen Formen auftreten:
Winkel | Formel | Darstellung |
|---|---|---|
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Dreiecksfläche mit dem Kreuzprodukt oder der Determinante berechnen
Diese Methode funktioniert nur, wenn das Dreieck in einem Koordinatensystem gegeben ist.
Die Formel lautet:
- Du bestimmst also die Verbindungsvektoren und .
- Dann berechnest du deren Kreuzprodukt und ...
- bestimmst die Länge (also den Betrag) des berechneten Vektors.
- Durch Halbieren dieses Werts erhältst du den Flächeninhalt des Dreiecks.
Verwendung der Determinante
Im Zweidimensionalen kannst du den Flächeninhalt auch mittels der Determinante bestimmen.
Schreibe hierzu mit und mit . Nun ergänze die Vektoren jeweils durch eine dritte Komponente, die eine Null hält und bilde das Kreuzprodukt:
.
Hier siehst du, dass der Betrag des Kreuzprodukts gerade als Determinante berechnet werden kann.
Schreibe also und in einer Matrix nebeneinander und bestimme deren Determinante:
Wichtig: wenn du und in der anderen Reihenfolge verwendest, musst du beim Ergebnis den Betrag nehmen. Du erkennst das daran, dass die berechnete Fläche negativ ist.
Übungsaufgaben (hier klicken)
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Mehr Aufgaben findest du im Aufgabenordner Aufgaben zur Flächenberechnung von Dreiecken im Koordinatensystem
Mehr zum Thema findest du im Artikel Flächeninhalt eines Dreiecks im Koordinatensystem