Die partielle Integration ist eine Methode zur Integration bestimmter Produkte zweier Funktionen. Man wendet sie oft an, wenn in einem Integral das Produkt zweier Funktionen steht, von denen die eine einfach zu integrieren und die andere leicht abzuleiten ist. Sie ergibt sich aus der Produktregel der Ableitung (siehe Abschnitt: Herleitung).
ursprüngliches Integral | Umformung für eine leichtere Berechnung (Erfolg verspricht eine Umformung dann, wenn das Integral auf der rechten Seite nicht schwieriger als das ursprüngliche Integral ist.) |
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Gesucht ist das Integral von:
und sind beides Funktionen mit bekannter Ableitung/Stammfunktion. Man probiert aus, welche Zuordnung von und die Rechnung vereinfacht:
- Wählt man , steht nach der Umformung auf der rechten Seite:
- Wählt man hingegen und lautet die Umformung: Man sieht, dass die letztere Zuordnung die Rechnung einfacher macht, denn die Stammfunktion der Sinusfunktion ist bekanntlich:
Das gesuchte Integral wird also berechnet:
Man kann sich auch zunutze machen, dass nach einigen Wiederholungen das ursprüngliche Integral wieder auftritt.
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Gesucht ist das Integral:
und sind beides Funktionen mit bekannter Ableitung/Stammfunktion.
Wählt man als und als , steht nach der Umformung auf der rechten Seite:
Nun führt man eine erneute partielle Integration des rechten Terms durch und wählt dabei , sowie .
Insgesamt ergibt sich durch die zweifache partielle Integration eine Gleichung, die dasselbe (wiederkehrende) Integral beinhaltet.
Dadurch folgt, indem das rechte Integral auf die linke Seite gebracht wird:
Bzw. zuletzt:
Faktor-1-Trick
Steht in einem Integral kein Produkt, aber eine Funktion, die leicht abzuleiten ist, kann man einen Trick anwenden:
Multiplikation der Funktion im Integral mit 1:
Das schafft die Voraussetzungen, um partielle Integration anwenden zu können.
Beispiel
Man sucht .
Die Ableitung von ist . Indem man mit multipliziert, erhält man also ein Produkt aus einer leicht zu integrierenden und einer leicht abzuleitenden Funktion: ( entspricht , entspricht )
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Bei der partiellen Integration macht man sich die Produktregel der Ableitung zunutze:
Wenn man beide Seiten integriert, ergibt sich:
Man erhält also durch Subtraktion die Formel:
Video zur Partiellen Integration
Eingebetteter Serlo-Inhalt