Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von Polynomen darstellen lässt. Gebrochen-rationale Funktionen sind also von der Form , wobei sowohl als auch Polynome sind.
Anhand des Zähler- und Nennergrad der Polynome und unterscheidet man zwischen echt gebrochen-rationalen Funktionen und unecht gebrochen-rationalen Funktionen.
Echt gebrochen-rationale Funktion
Der Grad des Zählerpolynoms ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms .
Beispiel
Grad von ist , Grad von ist .
Unecht gebrochen-rationale Funktion
Der Grad des Zählerpolynoms ist größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms . Hier lässt sich die Funktion durch Polynomdivision in eine Funktion mit ganz-rationalem und echt gebrochen-rationalem Anteil zerlegen.
Beispiel
Grad von ist , Grad von ist .
Zerlegte Funktion:
Verschiedene Beispiele für gebrochen-rationale Funktionen
Echt gebrochen-rationale Funktionen
(Hyperbel)
Unecht gebrochen-rationale Funktionen
Jedes Polynom, wie zum Beispiel:
Beachte:
, denn und haben unterschiedliche Definitionsbereiche:
Eigenschaften an Beispielen
Bei gebrochen-rationalen Funktionen lassen sich einige Eigenschaften, wie die Art und Lage der Asymptoten, an der Funktionsgleichung ablesen, sowohl an der ausmultiplizierten als auch an der faktorisierten Form.
Beispiel 1
- Definitionslücke:
- Linearfaktor: einfach
- Polstelle mit Vorzeichenwechsel (da der Exponent ungerade ist)
- waagerechte Asymptote bei (da Nennergrad größer als Zählergrad)
Beispiel 2
- Definitionslücke:
- Linearfaktor: doppelt
- Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (da der Exponent gerade ist)
- waagerechte Asymptote bei (da Nennergrad größer als Zählergrad)
Beispiel 3
- Definitionslücke:
- Linearfaktor: dreifach
- Polstelle mit Vorzeichenwechsel (da der Exponent ungerade ist)
- waagerechte Asymptote bei (da Nennergrad größer als Zählergrad)
Beispiel 4
Beispiel 5
- Definitionslücke:
- Vielfachheit des Zählers > Vielfachheit des Nenners
- hebbare Definitionslücke, da sie "weggekürzt" werden kann.
Beispiel 6
- Definitionslücke:
- Vielfachheit des Zählers < Vielfachheit des Nenners gekürzt wie bei 1
- Polstelle mit Vorzeichenwechsel
- waagerechte Asymptote bei (da Nennergrad größer als Zählergrad)
Allgemeines Beispiel
Kürze , und .
Aus dem Funktionsterm lässt sich nun ablesen:
- im Nenner: Asymptote durch die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei (wegen geradem Exponenten )
- im Nenner: Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei (wegen ungeradem Exponenten )
- im Nenner: Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei (wegen ungeradem Exponenten )
- wurde gekürzt und kürzt sich weg: hebbare Definitionslücke bei
- wurde gekürzt und bleibt im Zähler stehen: hebbare Definitionslücke mit der -Achse bei (dadurch auch keine Nullstelle)
- steht im Zähler: Nullstelle bei
