Berechne die Nullstellen und entscheide welche Besonderheit vorliegt.
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Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Setze die Funktion gleich 0.
Der niedrigste Exponent ist 2, also kann ausgeklammert werden.
Die erste (doppelte) Nullstelle liegt bei 0.
Um weitere Nullstellen zu bestimmen, betrachte den Term in der Klammer.
Umformung: +\frac{1}{2}x
Umformung: \cdot2
Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei und eine einfache Nullstelle bei .
Besonderheit
Eine doppelte Nullstelle bei 0.
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Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Die Funktion gleich 0 setzen
Umformung: -64
Umformung: :2
Die Funktion hat eine Nullstelle bei .
Besonderheit
Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen
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Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Mitternachtsformel anwenden.
Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
Fall:
Fall:
Resubstitution
Die Funktion hat Nullstellen, und zwar bei .
Besonderheit
Die Funktion lässt sich durch Substitution auf eine quadratische Funktion zurückführen.
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Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Mitternachtsformel anwenden
Unter der Wurzel ausmultiplizieren
Fall: +; keine Resubstitution möglich, da negativ
Fall: -; Resubstitution
Die Funktion hat die beiden Nullstellen und .
Besonderheit
Die Funktion lässt sich durch Substitution auf eine quadratische Funktion zurückführen.
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Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Die Funktion gleich 0 setzen
Umformung: +8
Umformung: \cdot2
Die Funktion hat die beiden Nullstellen und .
Besonderheit
Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen.
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Zunächst kannst du den Faktor ausklammern.
Danach kannst bei dieser Aufgabe die restlichen Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel bestimmen oder du erkennst, dass du die 1. binomische Formel anwenden kannst und sparst dir so eine Menge Arbeit!
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Mitternachtsformel anwenden
Die Funktion hat 2 doppelte Nullstellen und zwar jeweils bei und .
Anwenden der 1. binomischen Formel für
Wenn du es erkennst, kannst du statt der Mitternachtsformel auch die 1. binomische Formel verwenden:
In dieser faktorisierten Darstellung des Terms kannst du direkt ablesen, dass bei eine doppelte Nullstelle liegt.
Besonderheit
Spezialfall: Eine Potenz von lässt sich ausklammern.
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Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
x ausklammern
Klammer gleich 0 setzen
Umformung: +\frac{1}{4}
Umformung: \cdot2\ oder\ :\frac{1}{2}
Umformung: \sqrt[2]{}
Quadratwurzel ziehen
Die Funktion hat die beiden Nullstellen und .
Besonderheit
Spezialfall: Eine Potenz von lässt sich ausklammern.
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Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Funktion gleich 0 setzen
Umformung: +16
Umformung: :\left(-\frac{1}{4}\right)\ oder\ \cdot\left(-4\right)
Umformung: \sqrt[3]{}
Dritte Wurzel ziehen
Die Funktion hat eine Nullstelle bei .
Besonderheit
Spezialfall: Alle Zwischenglieder fehlen.
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Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
ausklammern
Dreifache Nullstelle; Klammer gleich 0 setzen
Mitternachtsformel anwenden
Die Funktion hat eine dreifache Nullstelle bei und jeweils eine einfache Nullstelle bei und
Besonderheit
Spezialfall: Eine Potenz von lässt sich ausklammern.
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Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Mitternachtsformel anwenden
Wurzel ziehen
Die Funktion hat 4 Nullstellen und zwar bei und .
Besonderheit
Spezialfall: Funktion lässt sich auf eine quadratische Funktion zurückführen.