Bestimme bei folgenden Funktionen den Definitionsbereich, die Nullstellen, das Symmetrieverhalten, die Grenzwerte und die Wertemenge.
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Definitionsbereich festlegen
Der Definitionsbereich gibt an, welche -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
In wird durch ersetzt, wodurch man die Funktion erhält.
Mitternachtsformel anwenden.
Unter der Wurzel zusammenfassen.
Unter der Wurzel addieren.
Umformung: Fall\ 1:+
Umformung: Fall\ 2:-
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
Für gibt es keine reelle Lösung.
Wurzel ziehen.
Da es für keine reelle Lösung gibt, sind die einzigen Nullstellen von .
Die Funktion hat zwei Nullstellen bei , .
Symmetrieverhalten
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Alle Exponenten zur Basis sind gerade.
Achsensymmetrie bezüglich der -Achse.
Durch Berechnung
Prüfen ob . Setze dafür in ein.
Umformen.
Achsensymmetrie zur -Achse
Grenzwertbetrachtung
Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen betrachtet werden.
Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
gegen
gegen
Wertemenge bestimmen
Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Anhand der Grenzwerte kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion eine nach unten geöffnete Parabel ist. Somit beschreibt der Scheitelpunkt den höchsten Punkt des Graphen. Da die Funktion achsensymmetrisch ist, liegt die -Koordinate des Scheitelpunkts zwischen den Nullstellen, also bei .
Der Scheitelpunkt liegt also bei .
Berechne .
Gib die Wertemenge an.
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Definitionsbereich festlegen
Der Definitionsbereich gibt an, welche -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Setze .
1. Binomische Formel anwenden.
Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei .
Symmetrieverhalten
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Da nicht alle Exponenten zur Basis gerade sind, ist nicht achsensymmetrisch bezüglich zur -Achse.
Da nicht alle Exponenten zur Basis ungerade sind, ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Somit besitzt also keine Symmetrie bezüglich der -Achse oder des Ursprungs.
Durch Berechnung
Prüfen ob . Setze dafür in ein.
keine Achsensymmetrie zur -Achse
Prüfen ob .
keine Punktymmetrie zum Ursprung
Somit liegt bei keine Symmetrie bezüglich der -Achse oder des Ursprungs vor.
Grenzwertbetrachtung
Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen betrachtet werden.
Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
gegen
gegen
Wertemenge bestimmen
Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Anhand der Grenzwerte kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist. Somit beschreibt der Scheitelpunkt den tiefsten Punkt des Graphen. Da die Funktion eine doppelte Nullstelle bei besitzt, ist die Nullstelle zugleich der Scheitelpunkt.
Der Scheitelpunkt liegt also bei .
Gib die Wertemenge an.
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Definitionsbereich festlegen
Der Definitionsbereich gibt an, welche -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Ausklammern
Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.
Klammere aus (kleinster vorkommender Exponent von ).
Setze .
Setze die Klammer gleich Null und löse nach auf.
Die Funktion hat drei Nullstellen bei , und .
Symmetrieverhalten
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Alle Exponenten von sind ungerade.
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
Prüfen ob . Setze dafür in ein.
keine Achsensymmetrie zur -Achse
Prüfen ob .
Punktymmetrie bezügöich des Ursprungs
Grenzwertbetrachtung
Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen betrachtet werden.
gegen
gegen
Wertemenge bestimmen
Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Da es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handelt, wird der Wertebereich nicht eingeschränkt. Somit lautet die Wertemenge:
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Definitionsbereich festlegen
Der Definitionsbereich gibt an, welche -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. in ein.
Die Funktion hat an der Stelle eine Nullstelle. Da , wissen wir, dass den dazugehörigen Linearfaktor besitzt.
Führe nun die Polynomdivision durch.
Die Funktion wird dann , sobald mindestens einer der Faktoren gleich ist. Da die Nullstelle bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich setzt.
2. Binomische Formel anwenden.
Die Funktion hat eine einfache Nullstelle bei und eine doppelte Nullstelle bei .
Symmetrieverhalten
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Da nicht alle Exponenten zur Basis gerade sind, ist nicht achsensymmetrisch bezüglich zur -Achse.
Da nicht alle Exponenten zur Basis ungerade sind, ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Somit besitzt also keine Symmetrie bezüglich der -Achse oder des Ursprungs.
Durch Berechnung
Prüfen ob . Setze dafür in ein.
keine Achsensymmetrie zur -Achse
Prüfen ob .
keine Punktymmetrie zum Ursprung
Somit liegt bei keine Symmetrie bezüglich der -Achse oder des Ursprungs vor.
Grenzwertbetrachtung
Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen betrachtet werden.
Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
gegen
gegen
Wertemenge bestimmen
Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Da es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handelt, wird der Wertebereich nicht eingeschränkt. Somit lautet die Wertemenge: