Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Der Graph der Funktion in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Geben Sie die Nullstellen der Funktion mit ihrer jeweiligen Vielfachheit an. (3 BE)
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Achte auf den Operator "Geben Sie ... an" und die Punktzahl! Hier ist keine komplette Nullstellenberechnung gefordert, sondern du kannst die Nullstellen und ihre Vielfachheiten direkt aus dem Term herauslesen, da dieser in Produktform ist.
Nach dem Satz vom Nullprodukt kannst du bei diesem Term jedem Faktor einzeln betrachten und so die Nullstellen ermitteln:
- mit Vielfachheit 1
- mit Vielfachheit 2
- mit Vielfachheit 1
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Der Termwert ist , wenn mindestens ein Faktor wird. Die Faktoren sind:
- Der Leitkoeffizient liefert keine Nullstelle, er kann nicht den Wert annehmen.
- Der Faktor ist , wenn , also ist dort eine Nullstelle. Da keinen Exponenten hat, ist die Vielfachheit .
- Der Faktor wird , wenn , was die nächste Nullstelle liefert. Wegen gibt es die Nullstelle zweimal, also ist die Vielfachheit .
- Der Faktor liefert die Nullstelle , erneut mit der Vielfachheit .
Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich der Funktionsterm auch in der Form darstellen lässt. (3 BE)
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- Multipliziere den hinteren Teil des Terms aus der anfänglichen Aufgabenstellung aus, um den hier angegebenen Term zu erhalten.
Benutze die 2. binomische Formel für
Multipliziere das von vorne in die Klammer.
Verrechne nun noch die letzten beiden Klammern.
Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von . Geben Sie die Wertemenge an.
[Mögliches Teilergebnis: ] (11 BE)
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Für die Extrempunkte:
- Bestimme die 1. Ableitung. Verwende dafür den Term aus der letzten Teilaufgabe, dieser lässt sich leichter ableiten.
- Bestimme die Nullstellen der 1. Ableitung. Du musst hier eine Polynomdivision ausführen und anschließend die Mitternachtsformel verwenden.
- Bestimme die Art der Extremstellen zum Beispiel mithilfe der 2. Ableitung (Alternativ: Monotonietabelle oder Skizze der Ableitung)
- Bestimme die Lage der Extremstellen durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion
Wertemenge:
Kombiniere dein Wissen über die Extremstellen, den Grad und den Leitkoeffizienten der Funktion und gib damit die Wertemenge an.
Extremstellen bestimmen
Ableitung von
Verwende um die Ableitung zu bestimmen.
Nullstellen von
Bestimme die Lösungen von , indem du eine Polynomdivision ausführst. Verwende als Anfangsnullstelle eine Nullstelle aus dem Taschenrechner oder aus dem möglichen Teilergebnis.
Hier wird verwendet:
Setze den entstandenen quadratischen Term erneut und verwende die Mitternachtsformel zum Lösen:
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Da jeweils die Vielfachheit besitzen, handelt es sich bei allen drei Nullstellen der Ableitung um Nullstellen mit Vorzeichenwechsel.
Deshalb werden alle drei Nullstellen auch tatsächlich Extremstellen sein.
Art der Extremstellen mit 2. Ableitung
Setze die gefundenen Nullstellen in die 2. Ableitung ein, um die Art der Extremstellen zu erhalten.
, also und somit bei
, also und somit bei
, also und somit bei
Lage der Extremstellen
Berechne die Funktionswerte von :
, also
, also
, also
Wertemenge
Da der Leitkoeffizient negativ ist und der Grad gerade, kommt der Graph aus dem III. Quadranten und endet im IV. Quadranten (also ). Es gibt also keinen kleinsten Funktionswert.
Der größte Funktionswert ist beim Hochpunkt , dieser ist aufgrund des gerade beschriebenen Globalverlaufs ein absoluter Hochpunkt.
Die Wertemenge ist also .
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen für in ein kartesisches Koordinatensystem. Wählen Sie dazu für beide Achsen einen geeigneten Maßstab.
(5 BE)
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Untersuche mithilfe deiner bisherigen Rechnung, was ein guter Maßstab ist. Anhaltspunkte können sein:
- Gibt es negative Funktionswerte?
- Was ist der höchste Punkt, der eingezeichnet werden muss?
Beachte, dass der Maßstab auf - und -Achse nicht gleich groß sein muss.
Passe bei der Wertetabelle deine Schrittweite so an, dass du nach wie vor bei jedem Kästchen einen Punkt einzeichnen kannst.
Da die Grenzen für die Zeichnung die beiden Nullstellen und sind und der tiefste Punkt auch nicht unter der -Achse verläuft, brauchst du nur den I. Quadranten.
Eine sinnvolle Skalierung könnte sein: -Achse: , -Achse:
Im Taschenrechner musst du dann als Schrittweite einstellen.
(Alternativ geht auch die etwas gröbere Skalierung auf der -Achse mit Schrittweite ).
Der Graph der Funktion und die -Achse schließen zwei endliche Flächenstücke ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des kleineren der beiden Flächenstücke. (4 BE)
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Untersuche im Graphen, welche Fläche die kleinere ist. Bestimme anschließend den Wert des bestimmten Integrals:
- Stelle das Integral mit den korrekten Intervallgrenzen da.
- Bilde die Stammfunktion.
- Setze die Grenzen ein und subtrahiere die entstandenen Werte.
Du sollst den Flächeninhalt der linken Teilfläche berechnen (siehe Markierung oben), also die Fläche im Intervall .
Erneut ist es einfacher, mit dem ausmultiplizierten Term zu rechnen, ...
...denn jetzt musst du eine Stammfunktion bilden:
Berechne
Der Flächeninhalt beträgt also .