Manche Schnittstellen mit der x-Achse sehen anders aus als andere. Das liegt an der Vielfachheit der jeweiligen Nullstelle.
Im Graph ist zum Beispiel
eine Nullstelle mit Vielfachheit 1,
eine Nullstelle mit Vielfachheit 2 und eine Nullstelle mit Vielfachheit 3.
Vielfachheit aus dem Funktionsterm ermitteln
Berechnest du die Nullstellen einer Funktion, so kann es passieren, dass du einzelne Nullstellen mehrmals rausbekommst. Bekommst du das Ergebnis bei der Berechnung zum Beispiel zweimal heraus, so handelt es sich um eine Nullstele mit Vielfachheit 2 (oder doppelte Nullstelle).
Beispiel 1: Vielfachheit 2 bei Mitternachtsformel
Die Nullstellen der Funktion berechnest du, indem du den Term mit 0 gleichsetzt und anschließend die Mitternachtsformel (oder die 1. binomische Formel) verwendest.
liefert die Ergebnisse und .
Du erhältst zweimal das gleiche Ergebnis. Die Nullstelle hat also die Vielfachheit 2.
Das passiert bei der Mitternachtsformel immer dann, wenn unter der Wurzel eine Null steht.
Beispiel 2: Vielfachheiten bei der Linearfaktorenform
Ist der Funktionsterm bereits in der Linearfaktorenform, lassen sich nicht nur die Nullstellen, sondern auch ihre Vielfachheit direkt ablesen.
schreibt man diesen Term ausführlich auf, steht dort:
Die Nullstelle bei hat also die Vielfachheit 2 (auch doppelte Nullstelle genannt) und die Nullstelle hat die Vielfachheit 3 (dreifache Nullstelle). Die Nullstelle kommt nur einmal vor und hat deshalb die Vielfachheit 1.
weitere Beispiele
Funktion | Nullstelle mit Vielfachheit |
|---|---|
sechsfache Nullstelle bei | |
Nach Anwendung der 3. binomischen Formel gilt und somit gibt es zwei Nullstellen und mit Vielfachheit 1. | |
Mithilfe der Polynomdivision und der Mitternachtsformel erhältst du die Nullstellen mit Vielfachheit 1 und mit Vielfachheit 2. |
Graphische Bedeutung der Vielfachheit
Eingebetteter Serlo-Inhalt
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