Die meisten Funktionen, die in der Schule abgeleitet werden müssen, sind durch Summen, Produkte und Verknüpfungen einiger weniger Funktionen gegeben.
Um Ableitungen erfolgreich zu berechnen genügt es also:
- die gegebene Funktion so umzuformen, dass die Ableitungsregeln benutzt werden können,
- die Funktion dann passend aufzuspalten,
- die Ableitungen der Bestandteile zu kennen und dann
- die Ableitungsregeln anzuwenden.
Art der Funktion | Funktion | Ableitung |
|---|---|---|
, | ||
, wobei die eulersche Zahl ist. | ||
Sinus | ||
Kosinus | ||
Tangens |
Ableitungsregeln
Faktorregel
Funktion | Ableitung | |
|---|---|---|
allgemein | ||
Beispiel |
Summenregel
Funktion | Ableitung | |
|---|---|---|
allgemein | ||
Beispiel |
Produktregel
Funktion | Ableitung | |
|---|---|---|
allgemein | ||
Beispiel |
Zum Weiterlesen: Artikel zum Thema Produktregel
Quotientenregel
Funktion | Ableitung | |
|---|---|---|
allgemein | ||
Beispiel |
Zum Weiterlesen: Artikel zum Thema Quotientenregel
Kettenregel
Funktion | Ableitung | |
|---|---|---|
allgemein | ||
Beispiel |
Zum Weiterlesen: Artikel zum Thema Kettenregel
Weitere Beispiele
Ableitung von
Kennt man die Ableitung der e-Funktion, so lässt sich die Ableitung von mit leicht über die Kettenregel berechnen.
Nach den Rechenregeln für die Exponentialfunktion gilt nämlich:
mit und .
Wendet man nun die Kettenregel an, so ergibt sich:
Ableitung von
Berechne die Ableitung von .
Die Funktion lässt sich nicht direkt mit einer der obigen Ableitungsregeln ableiten, da sie nicht in der benötigten Form ist. Also formen wir zunächst um und zerlegen dann:
mit und .
Damit lassen sich zuerst die Kettenregel und dann die Produktregel anwenden:
Wende die Kettenregel an.
Leite nun und ab:
- und
- mit der Produktregel: .
Setze die Ableitungen ein.
Ableitung von
Zu einem gegebenen wollen wir ableiten.
Wieder ist die Strategie den Funktionsterm von derart umzuformen, dass sich die bekannten Ableitungsregeln anwenden lassen.
Mit den Rechenregeln für Logarithmen erhalten wir:
Da eine Zahl ist und unabhängig von kannst du die Faktorregel anwenden und erhältst: .
Eingebetteter Serlo-Inhalt
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