Leite folgende Funktionen mit Logarithmus ab.
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Leite ab, indem du die Produktregel nutzt. Es müssen die Ableitung von und gebildet werden.
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für
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Um ableiten zu können musst du wissen, wann eine Funktion differenzierbar ist, was die Kettenregel ist und wie du die natürliche logarithmus Funktion ableiten kannst.
Zerlege zunächst in und .
und .
Dann ist .
Berechne die Ableitung von und .
Es gilt: und
Jetzt kannst du mit Hilfe der Kettenregel ableiten:
Diese ist für alle definiert.
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Die Wurzel lässt sich als Potenz schreiben. Dann wendet man die Potenzregel des Logarithmus an.
In dieser Form kannst du die Ableitung der Funktion mit der Faktorregel berechnen:
Das fasst du noch zusammen und erhältst als Ergebnis:
Anmerkung: Die Faktorregel ist ein Spezialfall der Produktregel. Du kannst die Ableitung daher natürlich auch mit der Produktregel berechnen
Ableitung mit der Produktregel
für .
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Um ableiten zu können musst du wissen, wann eine Funktion differenzierbar ist, was die Kettenregel ist, wie du Wurzeln als Potenz schreiben und wie du die natürliche Logarithmusfunktion ableiten kannst.
Schreibe die Wurzel als Potenz.
Zerlege zunächst in und :
Dann ist .
Berechne die Ableitung von und :
Jetzt kannst du mit Hilfe der Kettenregel ableiten:
.
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Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.
Erst die äußere Ableitung (die äußere Funktion ableiten) bilden und die innere Funktion einsetzen. Dann noch Nachdifferenzieren, also mal die innere Ableitung (innere Funktion ableiten) nehmen.
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Als erstes wird mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet.
Dann differenzierst du unter Verwendung der Quotientenregel nach.
Den Doppelbruch zu Beginn löst du auf, indem du den Kehrbruch des Nenners bildest.
Nun kürzt du und musmultiplizierst aus im Zähler.
Nun fasst du im Zähler zusammenfassen. Im Nenner wendest du die binomische Formel an.
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Wende die Ableitungsregel für den ln an. Das Argument des ln ist dann der Nenner eines Bruches mit dem Zähler 1. Differenziere dann mit der Ableitung des Arguments des nach.
Kürze Zähler und Nenner des Bruches mit .
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Zum Ableiten des zweiten Elements zwei mal die Kettenregel anwenden.
Mit 2 kürzen.
für
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Wende die Ableitungsregel für den ln mit beliebigem Argument an und differenziere mit der Ableitung des Arguments nach (hier: lnx).
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Wende die Produktregel zum Ableiten an. Für den zweiten Faktor wird die Ableitungsregel des ln benötigt.
Multipliziere die Klammer aus und kürze ein im zweiten Summanden.
für
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Erster Schritt, den Logarithmus in einfache Teile zerlegen
Zweiter Schritt, die Ableitung bilden
Wende die Kettenregel an.
Kürze den 2.Term.
Bringe den ersten Term auf den Hauptnenner.
Fasse zusammen.