Differenzierbarkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen, die darüber Auskunft gibt, ob und wo sich eine Funktion ableiten lässt.
Eine Funktion heißt differenzierbar an einer Stelle ihres Definitionsbereichs, falls der Differentialquotient existiert:
Wir nennen dann diesen Grenzwert Ableitung an der Stelle .
Anschaulich bedeutet das, dass der Graph von an der Stelle eine eindeutige und nicht senkrechte Tangente besitzt. Der Grenzwert und damit die Ableitung gibt die Steigung dieser Tangente an.
Ist an jeder Stelle der Definitionsmenge differenzierbar, so nennt man differenzierbar.
Differenzierbarkeit überprüfen
Der obige Grenzwert existiert genau dann, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert des zugehörigen Differenzenquotienten existieren und übereinstimmen, d. h. wenn gilt:
Diese Äquivalenz ist insbesondere dann hilfreich, wenn die Differenzierbarkeit zusammengesetzter Funktionen an einer "Nahtstelle" überprüft werden soll.
Sind die Ableitungen links und rechts von bereits bekannt, kann die Differenzierbarkeit über die Gleichheit der Ableitungen nachgewiesen werden. Eine an der Stelle stetige Funktion ist also differenzierbar, wenn beide Grenzwerte existieren und gilt:
Nicht differenzierbare Funktionen
Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet, dass der Graph der Funktion an jeder Stelle eine eindeutig bestimmbare Tangente besitzt.
Im nebenstehenden Applet kannst Du die Punkte und auf dem Graphen von verschieben. An und sind die jeweiligen Tangenten abgetragen.
Du kannst über das Eingabefeld auch eine andere Funktion eingeben und diese graphisch auf Differenzierbarkeit untersuchen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Ist eine Funktion an einer Stelle nicht differenzierbar, so ist die Tangente an dieser Stelle nicht bestimmbar. Dafür kann es verschiedene Gründe geben.
Besitzt der Graph an einer Stelle eine "Spitze", so kann man dort zwei unterschiedliche "Tangenten" konstruieren, eine "linksseitige Tangente" und eine "rechtsseitige Tangente". Aber eben keine eindeutige, "einzige" Tangente. Die Funktion ist an dieser Stelle nicht differenzierbar.
Du kannst die Punkte P und Q auf f verschieben. Beobachte, wie sich die Tangentensteigung an der "Spitze" verhält.
Du kannst auch andere Funktionen eingeben und graphisch auf Differenzierbarkeit untersuchen: z.B. ; Eingabe: .
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Die durch gegebene Funktion ist ein weiteres Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion. Es gilt nämlich:
Somit ist nicht an der Stelle differenzierbar.
Du kannst die Punkte und auf verschieben. Beobachte, wie sich die Tangentensteigung an der Stelle verhält.
Du kannst auch andere Funktionen eingeben und graphisch auf Differenzierbarkeit untersuchen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Differenzierbarkeit höherer Ordnungen
Wir betrachten eine differenzierbare Funktion . Ist ihre Ableitung ebenfalls differenzierbar, so heißt die Funktion zweimal differenzierbar. Analog lassen sich die Bezeichnungen dreimal / viermal / -mal differenzierbar definieren.
Eine differenzierbare Funktion, deren Ableitungsfunktion stetig ist, heißt stetig differenzierbar.
Differenzierbarkeit nachweisen
Der Differentialquotient lässt sich mit der h-Methode berechnen.
Details anzeigen
Untersuche die Funktion auf Differenzierbarkeit.
- Differentialquotienten mit der h-Methode aufstellen.
- Zähler des Bruchs vereinfachen.
- im Zähler ausklammern.
- kürzen.
- Nun kann man den Grenzwert bilden, also gegen 0 gehen lassen.
- Da dieser Grenzwert für alle Werte aus dem Definitionsbereich existiert, ist die Funktion differenzierbar.
- Man sieht, dass das Ergebnis übereinstimmt, mit der Ableitung der Funktion gleich ist.
Details anzeigen
Untersuche die Funktion auf Differenzierbarkeit.
Diese Funktion ist offenbar für alle differenzierbar. Man muss also nur die kritische Stelle bei untersuchen.
- Erstelle den Differentialquotienten an der Stelle .
- Zunächst muss man unterscheiden, von welcher Seite man sich der annähert, da man für positive und negative Werte von unterschiedliche Funktionsterme verwenden muss. Man betrachtet also zwei Grenzwerte. Dabei nähert man sich einmal von links (in Zeichen: ) und einmal von rechts (in Zeichen: ) an den Wert an.2.1. Annäherung von rechts: 2.2 Annäherung von links:
Da die beiden Grenzwerte von links und rechts unterschiedlich sind, existiert der Grenzwert an der Stelle nicht. Deshalb ist die Funktion an der Stelle nicht differenzierbar.
Die nicht differenzierbare Stelle der Funktion ist graphisch eine "Spitze".
Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit
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