mit
Bestimme den Flächeninhalt der Fläche zwischen und der x-Achse.
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Nullstellen berechnen
Bestimme zuerst die Nullstellen der Funktion. Setze also die Funktion gleich 0.
Setze ein.
Umformung: :\left(-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\right)
Es wird durch alles, dass kein enthält dividiert , da dies keine Auswirkung auf die Nullstellen hat.
wird ausgeklammert.
Diese Gleichung ist dann Null, wenn entweder die Zahl vor der Klammer oder das Innere der Klammer gleich 0 ist.
Integral aufstellen
Jetzt kannst du ein Integral aufstellen, um die vom Graphen und der -Achse eingeschlossene Fläche zu berechnen. Die Fläche befindet sich zwischen den beiden Nullstellen von .
Der Term wird vor das Integral gezogen. Er hängt nicht von ab.
Bestimme eine Stammfunktion von , um das Integral zu berechnen.
Multipliziere nun die Klammer aus und sortiere nach Potenzen.
Um die Betragsstriche weglassen zu können und später leichter rechnen zu können, kannst du dir überlegen, wann das Innere positiv ist und wann negativ.
Der Term wäre Null für und . Somit schaust du dir die folgenden Bereiche an:
- und
In einer Vorzeichentabelle siehst du, wann positiv ist und wann negativ:
für und sonst ist
Antwort:
Für welche ist der Inhalt der Fläche gleich 8?
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Gesucht sind die Werte für mit . Hierfür nutzt du die ermittelte Funktion und machst eine Fallunterscheidung.
1. Fall:
Die zuvor ermittelte Funktion ( ) wird gleich dem gesuchten Wert gesetzt, um zu bestimmen.
Setze ein.
Umformung: -8
Wende die Mitternachtsformel an.
Multipliziere unter der Wurzel aus.
Fasse zusammen.
Also ist und gleich .
2. Fall:
Setze ein.
Umformung: -8
Wende die Mitternachtsformel an.
Multipliziere unter der Wurzel aus.
Fasse zusammen.
Also ist und gleich .
Antwort: Für , , und ist der Flächeninhalt der Fläche zwischen und der x-Achse gleich .
Bestimme für den Flächeninhalt so, dass dieser möglichst groß wird. Gib den maximalen Flächeninhalt an.
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Der Maximalwert der Fläche ist das gleiche, wie das Maximum der Funktion .
Um dieses zu bestimmen, muss ( ) abgeleitet werden.
Der Graph von ist eine nach unten geöffnete Parabel, d.h. es gibt nur ein Maximum. Das gesuchte Maximum ist die Nullstelle der Ableitung, demnach wird gleich gesetzt.
Umformung: +\frac{4}{3}a
Umformung: :\frac{4}{3}
Die Bedingung in der Aufgabenstellung ist für erfüllt.
Die Stelle, an der den größten Wert hat ist bekannt, wie hoch dieser ist wird ermittelt, indem das berechnete in eingesetzt wird.
Antwort: Der maximale Flächeninhalt beträgt FE.
Bestimme den Term und alle Nullstellen von
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Stelle auf, indem du für in den Funktionsterm einsetzen.
Bestimme nun die Nullstellen von .
Umformung: \cdot\left(-3\right)
Die erste Nullstelle muss erraten werden.
Durch Ausprobieren ermittelt man zum Beispiel
Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.
Die vereinfachte Funktion kannst du jetzt gleich setzen, um die beiden anderen Nullstellen von zu ermitteln. Die Mitternachtsformel (oder die p-q-Formel) lässt sich anwenden.
Alternativ kann man erkennen, dass es sich bei der vereinfachten Funktion um die zweite binomische Formel handelt und dementsprechend auf das Ergebnis kommen.
Alternativer Rechenweg für die Nullstelle
Es handelt sich um eine zweite binomische Formel.
Umformung: \sqrt{ }
Umformung: +4
Die Funktion hat demnach eine Nullstelle bei
und eine doppelte Nullstelle bei .
Berechne die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von .
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Leite zweimal ab.
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema von .
Setze ein.
Klammere aus.
Die Gleichung ist gleich 0, wenn ein Element der Multiplikation ( ) Null ist.
für
für
Extremum für
Setze die gefundene Nullstelle der Ableitung von in ein.
Setze jetzt in ein.
Da ist, hat an der Stelle einen Tiefpunkt .
Extremum für
Setze die gefundene Nullstelle der Ableitung von in ein.
Setze jetzt in ein.
Da ist, hat an der Stelle einen Hochpunkt
Wendepunkt bestimmen
Bestimme nun den Wendepunkt.
Setze dafür die zweite Ableitung gleich .
Umformung: +2x
Umformung: :2
Setze in ein.
Damit ergeben sich die Koordinaten des Wendepunktes .
Skizziere und im selben Koordinatensystem.
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