Betrachte die Funktion . Der Graph der Funktion ist und ihr Definitionsbereich .
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der y-Achse.
Berechne anschließend die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der x-Achse.
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Teil 1
- Um den Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse zu berechnen, berechne die Nullstelle der Funktion.
Teil 2
- Um den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse zu berechnen, setze in die Funktion ein.
Schnittpunkt mit der x-Achse berechnen
Um den Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse zu berechnen, berechne die Nullstelle der Funktion.
Multipliziere auf beiden Seiten. Da die Exponentialfunktion nie negativ wird, kannst auf beiden Seiten den Ausdruck multiplizieren.
Bringe 4 auf die andere Seite.
Wende den Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion an.
Die y-Koordinate der Nullstelle ist 0. Gib den Schnittpunkt an.
Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen
Um den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse zu berechnen, setze in die Funktion ein.
Führe die Subtraktion und die Addition aus.
Gib den Schnittpunkt an.
Bestimme das Verhalten von für und .
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- Berechne die Grenzwerte und .
Hinweis: Zur Bestimmung des Grenzwerts für kann z.B. zunächst im Zähler und im Nenner ausgeklammert werden.
Betrachte das asymptotische Verhalten der Funktion
Bestimme das Verhalten für .
Klammere im Zähler und im Nenner je aus.
Kürze .
Führe die Grenzwertbetrachtung durch. Dabei wird .
Bestimme das Verhalten für .
Führe die Grenzwertbetrachtung durch. Dabei wird .
=
Forme um.
=
Untersuche das Monotonieverhalten von mit Hilfe der ersten Ableitung von .
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- Berechne die erste Ableitung. Wende dabei die Quotientenregel an.
- Untersuche, ob für alle x-Werte größer oder kleiner als null ist.
Hinweis zur Kontrolle:
Die erste Ableitung lautet .
Berechne die Ableitung
Bilde die erste Ableitung der Funktion.
Wende die Quotientenregel an.
Löse die Klammer im Zähler auf.
Vereinfache den Zähler.
Bestimme das Monotonieverhalten
Da die erste Ableitung der Funktion für alle x-Werte größer als null ist, ist die Funktion streng monoton steigend.
Dass für alle x-Werte gilt, sieht man an der Exponentialfunktion im Zähler und dem quadratischen Ausdruck im Nenner. Beide sind stets größer als .
ist der einzige Wendepunkt von . Zeige, dass die Gerade mit der Gleichung durch verläuft und auf der Wendetangente senkrecht steht.
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Teil 1
- Setze den Punkt in die Geradengleichung ein.
Teil 2
- Stelle für die Wendetangente zunächst eine allgemeine Geradengleichung auf.
- Berechne die Steigung der Wendetangente über die Steigung der Funktion im Wendepunkt .
- Bestimme den y-Achsenabschnitt der Wendetangente, indem du forderst, dass die Wendetangente auch durch den Wendepunkt gehen muss.
- Zeige dann .
Zeige, dass die Gerade n durch W verläuft
Um zu zeigen, dass die Gerade durch den Punkt verläuft, setze den x-Wert in die Geradengleichung ein.
Prüfe, ob dies mit der y-Koordinate des Punkts übereinstimmt.
Da der Funktionswert der Geraden an der Stelle der x-Koordinate des Punkts mit der y-Koordinate des Punkts übereinstimmt, liegt auf der Geraden .
Bestimme die Steigung der Wendetangente
Berechne die Steigung der Wendetangente über die Steigung der Funktion im Wendepunkt .
Vereinfache indem du verwendest, dass der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist.
Zeige, dass die Wendetangente senkrecht auf der Geraden steht
und
Damit ist gezeigt, dass Wendetangente senkrecht auf der Geraden steht.
Hinweis: Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden. Sie dient nur der Veranschaulichung.
Verschiebe um nach links, um den Graphen zu erhalten und gib an. Zeige, dass punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Welche Bedeutung hat in diesem Fall der Punkt für ?
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Teil 1
- Berechne .
Teil 2
- Zeige, dass gilt:
Teil 3
- Wo befindet sich , wenn um nach links verschoben wurde?
Gib an
Zeige, dass punktsymmetrisch zum Ursprung ist
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung gilt:
Welche Bedeutung hat in diesem Fall der Punkt für ?
ist in diesem Fall die Nullstelle von und ist weiterhin auch Wendepunkt.
Hinweis: Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden. Sie dient nur der Veranschaulichung.
