Eine Funktion mit dem Funktionsterm heißt Exponentialfunktion. Dabei ist und .
Bei jeder Exponentialfunktion ist im Potenzterm die Basis eine fest gewählte positive reelle Zahl (ungleich ). Der Exponent enthält die Funktionsvariable . Daher die Bezeichnung "Exponentialfunktion". Der Faktor ist eine beliebige von null verschiedene reelle Zahl.
Detaillierte Einführung
Eine schrittweise Einführung zu diesem Thema findest du in dem Videokurs zu Exponentialfunktionen.
Beispiele für Exponentialfunktionen
- . Hier ist und .
- . Hier ist und .
Beispiele, die keine Exponentialfunktionen sind
- . Hier ist eine Potenzfunktion (sogar eine Parabel).
- . Hier ist eine Wurzelfunktion. Es gilt .
- . Hier ist z.B. für nicht definiert und es handelt sich um keine Exponentialfunktion, weil ist.
Eigenschaften von Exponentialfunktionen
- Der maximale Definitionsbereich ist ganz .
- Der maximale Wertebereich ist falls und falls .
- Der Graph schneidet die y-Achse bei dem Wert .
- Der Graph hat die -Achse als Asymptote und hat keine Nullstelle.
Diese Eigenschaften erkennt man gut an den Graphen der Funktionen. Für :
Im Fall von werden die Graphen an der -Achse gespiegelt.
Veranschaulichung der Eigenschaften im GeoGebra-Applet
Benutze die Schieberegler und des nachfolgenden Geogebra-Applets, um mit dem Verlauf unterschiedlicher Exponentialfunktionen vertraut zu werden.
Überzeuge dich insbesondere davon, dass keine Exponentialfunktion der Form eine Nullstelle hat und dass jede den -Achsenabschnitt besitzt.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Exponentialfunktionen beschreiben zeitliche, exponentielle Wachstumsvorgänge und sind deshalb von erheblicher Bedeutung.
Die übliche Schreibweise der dabei betrachteten Funktionen ist . entspricht dem Faktor und misst den Anfangswert der Veränderung. Der Wachstumsfaktor heißt .
Ist , dann handelt es sich bei positivem um ein abnehmendes Wachstum.
Vertiefung
Für eine Exponentialfunktion (d.h. falls ) gilt die Funktionalgleichung
Dies bestätigt man leicht über die bekannte Rechenregel für Potenzterme:
Diese Funktionalgleichung erklärt die starke Zunahme der Funktionswerte bei Exponentialfunktionen mit .
Die weit schwächere Zunahme der Funktionswerte einer noch so steilen linearen Funktion liegt daran, dass diese durch eine Funktionalgleichung der Form gekennzeichnet ist.
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist eine Logarithmusfunktion. Für ist die Umkehrfunktion gegeben durch:
Natürliche Exponentialfunktion
Man kann jede Exponentialfunktion auf eine natürliche Exponentialfunktion, d.h. auf eine Exponentialfunktion mit Basis , der Eulerschen Zahl, zurückführen:
Diese Beziehung hilft unter anderem dabei, die Ableitung zu bestimmen.
Erste Ableitung
Die erste Ableitung von ist gegeben durch:
Herleitung der ersten Ableitung
Man kann die erste Ableitung einer Exponentialfunktion mit Hilfe der Kettenregel berechnen. Dazu benötigt man einige Umformungen.
Da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der e-Funktion ist, gilt und damit:
Mit der Potenzregel für Logarithmen folgt:
Mit der Kettenregel und folgt:
Mit nochmaliger Anwendung der Potenzregel für Logarithmen und Umformen folgt:
Und somit insgesamt:
Integral
Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion einer Exponentialfunktion ist:
Herleitung der Stammfunktion
Das sieht man durch eine einfache Gleichung: