Existenz einer Umkehrfunktion
Für die Funktion rechts im Bild gibt es zwei Punkte auf der gleichen Höhe. Welchen Wert soll die Umkehrfunktion dem Wert zuordnen? Das ist nicht eindeutig, weshalb keine Umkehrfunktion auf der ganzen Definitionsmenge existiert.
Das bedeutet: Werden bei einer Funktion die Werte aus der Wertemenge mehrmals "getroffen" (z. B. , , ), muss man den Definitionsbereich so einschränken, dass sie jeden Wert aus der Wertemenge nur einmal "trifft". Anschließend kann man die Umkehrfunktion bilden.
Der Definitionsbereich der Funktion wurde eingeschränkt, sodass jedem Wert der Definitionsmenge genau ein Wert der Wertemenge zugeordnet wird.
Das erkennt man daran, dass jede beliebige Parallele nur noch einen Schnittpunkt hat.
Definitions- und Wertemenge
Beim Umkehren vertauschen sich Definitions- und Wertemenge. Die Definitionsmenge von ist die Wertemenge von und die Wertemenge von ist die Definitionsmenge von .
Bilden der Umkehrfunktion
Im einfacheren Fall lässt sich die Gleichung nach auflösen. Der Term auf der anderen Seite entspricht dann dem Funktionsterm der Umkehrfunktion.
Es gibt aber Fälle, in denen die Umkehrfunktion sich nicht finden lässt. Viele Funktionen werden aber auch direkt als Umkehrfunktionen definiert (siehe "Spezielle Umkehrfunktionen").
Beispiel
Bilden der Umkehrfunktion von
Bestimmen der Definitionsmenge:
Nach x auflösen
Umformung: +1
Umformung: \cdot\left(x+2\right)
ist erlaubt, da
Damit das erlaubt ist, muss
Umformung: -2
Graph der Umkehrfunktion
Der Graph der Umkehrfunktion ist der Graph von , gespiegelt an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten.
Spezielle Umkehrfunktionen
- Die Funktion ist ihre eigene Umkehrfunktion.
- Die ln- und e-Funktion sind Umkehrfunktionen voneinander.
- Die trigonometrischen Funktionen , , und müssen in ihrem Definitionsbereich eingeschränkt werden, um umkehrbar zu sein. Ihre Umkehrfunktionen sind der Arcus Sinus (, oft auch ), der Arcus Cosinus ( bzw. ) und der Arcus Tangens ( bzw. ).