Der Verlauf der Anzahl der Neuerkrankungen für eine bestimmte Grippewelle in einer gewissen Region in Abhängigkeit von der Zeit kann vereinfacht durch die Funktion mit der Funktionsgleichung mit beschrieben werden.
Dabei bedeutet die Variable die Zeit in Wochen ab Beginn der Grippewelle zum Zeitpunkt . Der Funktionswert gibt die Anzahl der an Grippe neu erkrankten Menschen in Tausend an.
Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.
Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zahl der neu erkrankten Menschen ihr Maximum annimmt und berechnen Sie diese maximale Anzahl.
[Teilergebnis: ] (7 BE)
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Gesucht ist der Hochpunkt des Graphen .
- Bestimme die 1. Ableitung mit der Produktregel und der Kettenregel.
- Bestimme die Nullstellen der 1. Ableitung.
- Weise, zum Beispiel mit einer Monotonietabelle, nach, dass es es sich um einen Hochpunkt handelt.
- Bestimme den zugehörigen Funktionswert.
Achte auf die Aufgabenstellung, um den Antwortsatz zu formulieren. Der Funktionswert kann nicht direkt verwendet werden.
Ableiten
Bestimme die 1. Ableitung von mit der Produktregel und der Kettenregel.
Verrechne.
Klammere aus.
Reine Ästhetik:
Nullstellen bestimmen
Du suchst die Lösung der Gleichung .
Laut dem Satz vom Nullprodukt kann jeder Faktor einzeln betrachtet werden. Dabei ist für jede Funktion , hat also nie den Wert 0.
Es gibt somit die Nullstellen und .
Monotonietabelle
Lege mit diesen Werten eine Monotonietabelle an. Beachte, dass
zugleich der Rand des Definitionsbereichs ist und dort ein Randextrempunkt liegt:
t | t=0 | 0<t<4 | t=4 | t<4 |
|---|---|---|---|---|
Vorzeichen | 0 | + | 0 | - |
Verlauf |
Funktionswert berechnen
Da nur nach dem Maximum gefragt ist, musst du nur bestimmen.
Bedeutung im Sachkontext
Die Zahl der Neuerkrankungen ist laut Angabentext in Tausend.
Also liegt das Maximum der neu erkrankten Menschen nach 4 Wochen bei 4331 Neuerkrankungen.
Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte für und interpretieren Sie das Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (2 BE)
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- Bestimme den Grenzwert nachvollziehbar, indem du den Term geeignet in Bausteine zerlegst.
- Für die Interpretation im Sachkontext ist wichtig, für was t und N(t) steht.
Bestimme :
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- Setzt du in eine große, positive Zahl ein, so ergibt sich eine große, negative Zahl.
- Für (also für negative Zahlen) nähert sich von oben der x-Achse, also .
- Gleichzeitig ist für eine große, positive Zahl.
- In Produkten setzt sich der Faktor mit durch, deshalb nähert sich der Graph der Asymptote von oben.
Da die Zeit in Wochen beschreibt und die Zahl der Neuerkrankungen, bedeutet der Grenzwert, dass sich die Zahl der Neuerkrankungen nach vielen Wochen auf 0 reduziert und es somit keine Neuerkrankungen mehr gibt.
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion im Bereich in ein geeignetes beschriftetes Koordinatensystem. Maßstab für beide Achsen: (3 BE)
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- Fertige eine Wertetabelle an.
- Vergiss nicht, die Achsen der Situation entsprechend zu beschriften.
Die Achsen beschriftest du zum Beispiel mit und .
Für ein ordentliches Ergebnis solltest du bei der Wertetabelle die Schrittweite einstellen.
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Zeigen Sie, dass die Funktion eine mögliche Stammfunktion von ist. Berechnen Sie damit die durchschnittliche Anzahl an neu erkrankten Menschen während der ersten acht Wochen ab Beginn der Grippewelle. (5 BE)
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- Bilde die Ableitung von G und zeige somit, dass .
- Der Wert des bestimmten Integrals gibt die insgesamte Zahl neu erkrankter Menschen in den ersten acht Wochen an.
- Diesen Wert musst du noch zu einem wöchentlichen Durchschnittswert machen.
Nachweis
Um die Ableitung zu bestimmen, brauchst du die Produktregel und die Kettenregel.
Klammere aus.
Und somit ist eine Stammfunktion von .
Durchschnittliche Zahl der Neuerkrankungen
Mit dem Integral kannst du die Zahl der insgesamt erkrankten Personen in den ersten acht Wochen bestimmen. Da der Zeitraum 8 Wochen umfasst, bekommst du die Zahl der durchschnittlichen Neuerkrankungen pro Woche, indem du diesen Wert durch 8 teilst:
In den ersten acht Wochen gab es durchschnittlich 3048 Neuerkrankungen pro Woche.