Neben den regulären Extrempunkten müssen manchmal auch Randextrema bestimmt werden.
Diese treten auf, wenn es eine Eingrenzung der Definitionsmenge gibt. Dadurch erhält der Graph sogenannte Ränder, die ihn einschränken.
Hier lernst du unter anderem, wie du Randextrema berechnest. Diese musst du dann später auch bei der Ermittlung von absoluten und relativen Extrempunkten beachten.
Was sind Randextrempunkte?
Voraussetzung:
Die Definitionsmenge muss eingeschränkt sein.
Hierbei gibt es folgende Fälle:
- eingeschlossene Ränder:
- teils eingeschlossene Ränder: oder
- ausgeschlossene Ränder:
Durch diesen eingeschränkten Definitionsbereich beschränkt man sich also auf einen Teilbereich des Graphen. Dadurch ergeben sich bis zu zwei weitere Punkte und an den Rändern, die sogenannten Randextrempunkte.
Wie gehe ich nun mit Randextrema um?
Es gibt also Extremstellen (von Hoch- oder Tiefpunkten) und Randextremstellen. Bei der Bestimmung von allen Extremstellen musst du somit wie folgt vorgehen:
- Extremstellen bestimmen und mit dem Definitionsbereich vergleichen
- eingeschlossene Randextrema berechnen:
- ausgeschlossene Randextrema (falls vorhanden) mit dem Limes bestimmen
- Bestimmung von absoluten und relativen Extrempunkten unter Einbezug der Randextrema
Graphische Darstellung
1. eingeschlossene Ränder
Hier siehst du einen Graphen, bei dem die Intervallgrenzen geschlossen bzw. die Ränder eingeschlossen sind.
Das erkennst du durch die ausgefüllten Kreise an den Punkten und .
Gegeben ist der Definitionsbereich:
Randextrempunkte:
Unterscheidung von absoluten und relativen Extrema
Absolute Extrempunkte:
Die Punkte und stellen die absoluten Hochpunkte dar. Punkt ist der absolute Tiefpunkt.
Relative Extrempunkte:
Der Punkt ist ein relativer Tiefpunkt.
2. teils eingeschlossene Ränder
Hier siehst du einen Graphen, bei dem die Intervallgrenzen teils offen bzw. die Ränder teils eingeschlossen sind.
Das erkennst du durch den ausgefüllten Kreis am Punkt und an dem unausgefüllten Kreise am Punkt .
Gegeben ist der Definitionsbereich:
Randextrempunkte:
- kein Randextrempunkt:
Unterscheidung von absoluten und relativen Extrema
Absolute Extrempunkte:
Der Punkt stellt einen absoluten Hochpunkt dar. Punkt ist der absolute Tiefpunkt.
Relative Extrempunkte:
Der Punkt ist ein relativer Tiefpunkt.
Da der Punkt ausgeschlossen ist, stellt er keinen Randextrempunkt dar. Er nimmt Einfluss auf die Wertemenge, die ausschlaggebend für die Art des Extremum ist. Der ausgeschlossene Wert kann den ursprünglich absoluten Extrempunkt zu einem relativen machen, wenn der jeweilige y-Wert höher bzw. tiefer ist.
3. ausgeschlossene Ränder
Hier siehst du einen Graphen, bei dem die Intervallgrenzen offen bzw. die Ränder nicht eingeschlossen sind.
Das erkennst du durch die unausgefüllten Kreise an den Punkten und .
Gegeben ist der Definitionsbereich:
Keine Randextrempunkte: und
Unterscheidung von absoluten und relativen Extrema
Absolute Extrempunkte:
Der Punkt stellt einen absoluten Hochpunkt dar.
Relative Extrempunkte:
Der Punkt ist ein relativer Tiefpunkt.
Da die Punkte und ausgeschlossen sind, stellen sie keine Randextrempunkte dar. Sie nehmen Einfluss auf die Wertemenge, die ausschlaggebend für die Art des Extremum ist. Der ausgeschlossene Wert kann den ursprünglich absoluten Extrempunkt zu einem relativen machen, wenn der jeweilige y-Wert höher bzw. tiefer ist.