An einem Küstenabschnitt stranden immer wieder Delfine. Diese werden in einer Auffangstation gesund gepflegt, bis sie wieder in freier Natur überleben können. Um die Kapazität der Auffangstation zu erhöhen, soll ein zusätzliches Becken aus Edelstahl angefertigt werden, welches die Form eines geraden Kreiszylinders hat und nach oben offen ist.
Dazu steht ein begrenzter Vorrat an Edelstahlblechen zur Verfügung. Diese haben modellhaft insgesamt eine Fläche von . Aus Platzgründen kann das Becken nur einen maximalen Durchmesser von haben.
Die Funktion beschreibt die Maßzahl des Volumens des Beckens in Kubikmetern in Abhängigkeit vom Radius in Metern.
Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.
Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V auf. Begründen Sie, dass für die mathematisch maximale Definitionsmenge der Funktion gilt: ]
[ Mögliches Ergebnis: ] (5 BE)
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Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe.
- Stelle eine Hauptbedingung und eine Nebenbedingung auf.
- Forme die Nebenbedingung nach h um und setze in die Hauptbedingung ein
- Analysiere die Definitionsmenge unter Beachtung der Aufgabenstellung und des Sachkontexts
Haupt- und Nebenbedingung
Es handelt sich um ein Aquarium in Form eines Zylinders, dessen maximales Volumen später gesucht ist. Deshalb ist unsere Hauptbedingung, die von der Höhe h und dem Radius r abhängig ist:
Die Nebenbedingung kannst du aus dem Text herauslesen: Das Aquarium ist nach oben geöffnet und besteht aus .
Der Oberflächeninhalt A ist gegeben
Der Mantel ist ein Rechteck mit den Seitenlängen und h, wobei dem Umfang des Kreises entspricht.
Nebenbedingung umformen und in Hauptbedingung einsetzen
In deiner Hauptbedingung soll nur noch die Variable vorkommen. Forme deswegen die Nebenbedingung nach um:
Umformung: -r^2\pi
Umformung: :2\pi r
Setze in die Hauptbedingung ein
Kürze.
Fasse zusammen.
Untersuchung der Definitionsmenge
untere Grenze: Die Zahl ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen, da der Radius nicht negativ sein kann und auch für den Radius noch kein Aquarium entsteht.
obere Grenze: Laut Vorgabe in der Aufgabenstellung soll der Durchmesser maximal betragen. Der Radius ist der halbe Durchmesser, also .
Zeigen Sie, dass unter den oben genannten Vorgaben das Becken für einen Radius von den maximalen Rauminhalt aufweist. Überprüfen Sie anschließend, ob dieses Becken für eine vorübergehende Haltung von drei Delfinen ausreicht, wenn pro Delfin Wasser zur Verfügung stehen sollen.
(7 BE)
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Führe jetzt die eigentliche Untersuchung auf Extrema bei der Extremwertaufgabe durch:
- Bilde die Ableitungsfunktion von V
- Bestimme die Nullstellen der Ableitung (Kandidaten für Extremstellen) und vergleiche mit der angegebenen Nullstelle
- Du kannst die Art der Extremstelle z.B. mit der zweiten Ableitung bestimmen
- Bestimme die zugehörigen Volumina für die gefundenen Extremstellen
- Bestimme die Randextrema
Beantworte danach noch die abschließende Frage, indem du das größte Volumen mit dem Platzbedarf pro Delfin vergleichst.
Ableitung von V
Die Ableitung von ist:
Kandidaten für Extremstellen
Die Kandidaten für Extremstellen von liegen bei den Nullstellen von :
Umformung: :\left(-1,5\pi\right)
Umformung: +60
Ziehe die Wurzel, beachte, dass es zwei Lösungen gibt
Zeige, dass
Teilweise radizieren
Die Lösung ist negativ und liegt somit nicht in .
Die Lösung liegt in
(Da die Nullstelle eine einfache Vielfachheit hat und es somit eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel ist, liegt dort auch tatsächlich eine Extremstelle)
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An sich benötigst du die Art der Extremstelle nicht explizit, da du im nächsten Schritt sowieso alle Volumina berechnest.
Wenn du widerrum weißt, dass bei ein Maximum von liegt (und das Minimum bei außerhalb des Definitionsbereichs ist), ist ohne Einsetzen der Randwerte klar, dass es das absolute Maximum der Funktion im Definitionsbereich ist.
Verwende z.B. die zweite Ableitung:
Setze ein. Dich interessiert nur das Vorzeichen:
also liegt dort ein Hochpunkt von
Funktionswerte an den Extrema und Rändern
Setze die Extremstelle und die Randextremstelle in ein:
Da der linke Rand ausgeschlossen ist, musst du hier den Grenzwert von für bestimmen:
Das maximale Volumen gibt es also bei einem Radius von . Es beträgt .
Artgerechte Delfinhaltung
Drei Delfine brauchen laut Angabe ein Becken, das mindestens groß ist.
Damit ist das Becken mit ausreichend groß.
Berechnen Sie für den unter b) gegebenen Beckenradius die Größe der Grundfläche des Beckens in Quadratmetern.
[ Ergebnis: ]
(2 BE)
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Verwende die Formel für den Flächeninhalt des Kreises. Den Radius bekommst du aus der letzten Teilaufgabe.
Setze in die Formel ein:
Das größtmögliche Becken hat eine Grundfläche von .
Ein zu Beginn (Zeitpunkt ) großer Algenteppich, der sich am Boden des Beckens mit der Grundfläche (siehe c)) gebildet hat, verdoppelt seine Fläche täglich.
Stellen Sie eine Gleichung der Funktion auf, welche die Fläche des Algenteppichs in Quadratmetern in Abhängigkeit von der Zeit in Tagen angibt. Für die Definitionsmenge der Funktion gilt .
(2 BE)
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Es handelt sich um eine Exponentialfunktion
- Überlege dir den Startwert
- Überlege dir den Wachstumsfaktor
Verwende eine einfache Exponentialfunktion der Form
- Zu Beginn ist der Algenteppich groß:
- Die Größe verdoppelt sich täglich:
Insgesamt also:
Zeigen Sie, dass sich die Wachstumsfunktion A näherungsweise durch die Funktionsgleichung mit darstellen lässt und berechnen Sie damit, nach wie vielen Tagen zwei Drittel der gesamten Grundfläche des Beckens von Algen bedeckt wären, wenn nicht eingegriffen würde.
Runden Sie Ihr Ergebnis auf ganze Tage.
(6 BE)
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- Zeige, zum Beispiel mithilfe der Potenzgesetze, dass die gleiche Funktion beschreibt wie
- Verwende die gegebene Grundfläche des größten Becken aus der vorletzten Teilaufgabe und bestimme damit, wie viele Quadratmeter der Algenteppich am Ende haben soll
- Setzte diesen Wert mit dem Funktionsterm gleich und löse die Gleichung
Äquivalenz der Funktionsterme
Es gibt verschiedene Wege, um die Äquivalenz von und zu zeigen!
Hier werden die Potenzgesetze verwendet:
Potenzgesetz
Berechne die Potenz in der Klammer:
Bewachsene Beckenfläche
Es sind der Grundfläche bewachsen:
Zeitpunkt berechnen
Gesucht ist der Zeitpunkt , zu dem bewachsen sind:
Umformung: \cdot2
Verwende den ln
Umformung: :0,6931
Es braucht ungefähr 8 Tage, bis 2/3 der Beckengrundfläche befallen sind.