Gegeben ist die Funktion mit und dem Graph .
Bestimme die Art und Lage des Extrempunktes.
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Um die Art und Lage eines Extrempunktes zu bestimmen, musst du folgende Schritte ausführen:
- Bilde die erste Ableitung
- Bestimme die Nullstellen von
- Bestimme die Art der Extremstelle über die Monotonietabelle oder die 2. Ableitung
- Setze in den Term von ein, um die y-Koordinate des Extrempunktes zu ermitteln.
Ableitungsfunktion bestimmen
Du benötigst die Kettenregel, da du eine e-Funktion ableiten musst.
Nullstellen der Ableitung
Die Kandidaten für Extremstellen von liegen bei den Nullstellen von :
Nach dem Satz vom Nullprodukt kann man die Faktoren einzeln betrachten. Dabei liefert keine Nullstellen, da für alle x.
Umformung: +2
Umformung: :2
Da die Nullstelle die Vielfachheit 1 hat, wird bei eine Extremstelle von f liegen.
Art der Extremstelle
Leite nochmal ab, um die Art der Extremstelle mit der 2. Ableitung zu bestimmen. Du brauchst nun zusätzlich die Produktregel.
Klammere aus
Multipliziere mit der binomischen Formel aus.
Hinweis zur 2. Ableitung
Eine Monotonietabelle wäre in diesem Fall eine schnellere Alternative und eigentlich muss der Term der 2. Ableitung auch nicht vereinfacht werden. Da du aber in der nächsten Teilaufgabe die 2. Ableitung brauchst, kannst du die Arbeit direkt hier erledigen.
Setze deinen gefundenen Kandidaten in die 2. Ableitung ein:
und somit liegt bei ein Tiefpunkt.
Lage der Extremstelle
Setze in f ein, um den zugehörigen Funktionswert zu bestimmen:
Der Graph hat also den Tiefpunkt
Untersuche, ob der Graph Wendepunkte besitzt und gib sein Krümmungsverhalten an. Folgere daraus, ob es Stellen stärkster Zu- oder Abnahme gibt.
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Für die Bestimmung von Wendepunkte und Krümmungsverhalten gehst du folgendermaßen vor:
- Bestimme die 2. Ableitung
- Bestimme die Nullstellen der 2. Ableitung. Falls es keine gibt, gibt es keine Wendepunkte
- Das Krümmungsverhalten hängt vom Vorzeichen der 2. Ableitung ab. Falls es Wendepunkte gibt, fertige eine Krümmungstabelle an.
Die notwendige Vorraussetzung für eine Stelle stärkster Zu- oder Abnahme ist ein Wendepunkt.
Nullstellen der zweiten Ableitung
In der ersten Teilaufgabe hast du bereits die zweite Ableitung bestimmt. Suche jetzt nach ihren Nullstellen.
Nach dem Satz vom Nullprodukt kann jeder Faktor einzeln betrachtet werden. hat allerdings keine Nullstellen, da für alle
Verwende die Mitternachtsformel, um die Lösungen der Gleichung zu bestimmen:
Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine Lösungen.
Somit hat der Graph keine Wendepunkte.
Krümmungsverhalten
Es gibt keine Wendepunkte. Also hat der Graph auf der gesamten Definitionsmenge die gleiche Krümmung.
Du kannst eine beliebige Zahl einsetzen, um diese Krümmung herauszufinden:
also ist der Graph für alle linksgekrümmt.
Stellen stärkster Zu- oder Abnahme
Da der Graph keine Wendepunkte hat, kann es keine Stellen lokal stärkster Zu- oder Abnahme geben.
Ist jeder Wendepunkt eine Stelle lokal stärkster Zu- oder Abnahme?
Nein.
Damit eine Stelle lokal stärkster Zunahme von ist, muss es ein Hochpunkt über der x-Achse von sein, also zusätzlich und
Damit eine Stelle lokal stärkster Abnahme von ist, muss es ein Tiefpunkt unter der x-Achse von sein, also zusätzlich und .
Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
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- Für den Schnittpunkt mit der y-Achse musst du einsetzen
- Für die Schnittpuntke mit der x-Achse musst du den Term mit 0 gleichsetzen, also
Vergiss nicht, die Koordinaten als Punkte anzugeben!
Schnittpunkt mit der y-Achse
Setze ein.
Der Schnittpunkt ist
Schnittpunkte mit der x-Achse
Setze mit 0 gleich.
Diese Gleichung hat keine Lösung, denn für alle und somit hat auch jede andere Exponentialfunktion (mit ganzrationale Funktion) keine Nullstellen.
Es gibt keine Schnittpunkte mit der x-Achse.
Gib den Globalverlauf von f für an.
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Betrachte zuerst das Verhalten des Exponenten und dann das Verhalten der Exponentialfunktion.
Arbeite dich vom Exponenten aus vor:
Im Exponenten dominiert
Verlauf der natürlichen Exponentialfunktion
Für kannst du genauso vorgehen:
Im Exponenten dominiert
Verlauf der natürlichen Exponentialfunktion
Der Graph hat also keine Asymptoten.
Zeichne den Graphen für , wobei auf beiden Achsen gilt.
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Fertige eine Wertetabelle an und wähle die Schrittweite 0,25. So kannst du bei jedem Kästchen einen Punkt einzeichnen und erhältst ein genau genuges Ergebnis.
Fertige eine Wertetabelle für f mit den Grenzen 0 und 2,5 und der Schrittweite 0,25 an.
In deinem Koordinatensystem ist auf beiden Achsen erst bei 2cm die Zahl 1 anzutragen:
