Bestimme alle Extrempunkte (mit Art) und Wendepunkte und gib die Monotonie- und Krümmungsintervalle an.
mit
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Für Extrema und Monotonie:
- Bestimme die erste Ableitung
- Bestimme ihre Nullstellen
- Fertige eine Monotonietabelle an. Zusätzlich zu den Monotonieintervallen erhältst du die Art der Extrempunkte
- Bestimme die Lage der Extrempunkte durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion
Für Wendepunkte und Krümmungsintervalle:
- Bestimme die zweite Ableitung
- Bestimme ihre Nullstellen
- Fertige eine Krümmungstabelle an
- Bestimme die Lage des Wendepunktes durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion
Extrema und Monotonieverhalten
Verwende die Produktregel und Kettenregel, um die Ableitung zu bilden.
Klammere und x aus
Die Nullstellen von kannst du mithilfe des Satz vom Nullprodukt direkt ablesen:
und
Beide Nullstellen haben die Vielfachheit 1 und sind deshalb Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von und somit Extremstellen von .
Die Art der Extremstellen und die Monotonieintervalle erhältst du zum Beispiel über eine Monotonietabelle (Alternativ: 2. Ableitung)
x | |||||
|---|---|---|---|---|---|
Vorzeichen | + | 0 | - | 0 | + |
Verlauf | HOP | TIP |
Die Lage der Extrempunkte bekommst du über Einsetzen in :
Der Graph ist also streng monoton steigend für und fallend in mit und
Wendepunkte und Krümmung
Bilde die 2. Ableitung mithilfe der Produkt- und Kettenregel um nochmal abzuleiten
Klammere aus
Diesmal sind die Nullstellen nicht so offensichtlich.
trägt keine Nullstellen bei, da für alle
Löse mithilfe der Mitternachtsformel:
liefert und
Da beide Nullstellen von die Vielfachheit 1 haben, handelt es sich um Wendestellen von .
Untersuche die Krümmung mit einer Krümmungstabelle
x | |||||
|---|---|---|---|---|---|
Vorzeichen | + | 0 | - | 0 | + |
Krümmung | lgk | WEP | rgk | WEP | lgk |
Die Lage der Wendepunkte erhältst du erneut über Einsetzen in :
Der Graph von f ist linksgekrümmt in und rechtsgekrümmt in . Die Wendepunkte liegen bei und .
mit
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Für Extrema und Monotonie:
- Bestimme die erste Ableitung
- Bestimme ihre Nullstellen
- Fertige eine Monotonietabelle an. Zusätzlich zu den Monotonieintervallen erhältst du die Art der Extrempunkte
- Bestimme die Lage der Extrempunkte durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion
Für Wendepunkte und Krümmungsintervalle:
- Bestimme die zweite Ableitung
- Bestimme ihre Nullstellen
- Fertige eine Krümmungstabelle an
- Bestimme die Lage des Wendepunktes durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion
Extrema und Monotonieverhalten
Verwende die Produktregel und die Kettenregel, um den Term abzuleiten:
Multipliziere hinten die -1 in die Klammer
Klammere aus.
Vereinfache
Bestimme die Nullstellen der Ableitung:
Nach dem Satz vom Nullprodukt können die Faktoren einzeln betrachtet werden. Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen.
Verwende die Mitternachtsformel, um die Gleichung zu lösen:
also: und
(Da beide Nullstellen die Vielfachheit 1 haben, also Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von sind, sind dort Extremstellen von )
Mit einer Monotonietabelle bekommst du sowohl die Art der Extrema als auch die Monotonieintervalle:
x | |||||
|---|---|---|---|---|---|
Vorzeichen g' | - | 0 | + | 0 | - |
Verlauf | TIP | HOP |
Die Lage der Extrempunkte bekommst du, indem du in einsetzt:
Insgesamt gilt für die Extremwerte und Monotonie also:
ist streng monoton fallend für und streng monoton steigend für . Dabei gibt es die Extrempunkte und
Wendepunkte und Krümmung
Du benötigst die Nullstellen der 2. Ableitung, da dort die Wendestellen von liegen. Erneut brauchst du sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel
Ziehe das Minus zu Beginn des Terms in die Klammer
Klammere aus
Bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung. Erneut ist nur die ganzrationale Funktion in den Klammern wichtig, da der Satz vom Nullprodukt gilt und
Verwende erneut die Mitternachtsformel:
. Du erhältst und
Da beide Nullstellen von die Vielfachheit 1 haben, handelt es sich um Wendestellen von .
Für die Krümmungsintervalle benötigst du trotzdem noch die Krümmungstabelle.
x | |||||
|---|---|---|---|---|---|
Vorzeichen g'' | + | 0 | - | 0 | + |
Krümmung | lgk | WEP | rgk | WEP | lgk |
Für die Koordinaten der Wendepunkte musst du außerdem noch die gefundenen x-Werte in g einsetzen:
Insgesamt ist der Graph also linksgekrümmt für und rechtsgekrümmt für . Er hat die Wendepunkte und