Die Parabel verläuft durch die Punkte und . Sie hat eine Gleichung der Form mit und .
Die Gerade g besitzt die Gleichung mit .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für und , dass die Parabel die Gleichung besitzt.
Zeichnen Sie die Parabel und die Gerade für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit cm:
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Für den Aufgabenpunkt a) musst du wissen, wie man ein Gleichungssystem aufstellt und löst.
Die Parabel hat eine Gleichung der Form und geht durch die beiden Punkte und .
Für die Berechnung der Werte für und setzt du die beiden Punkte und nacheinander in die Funktionsgleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erhalten.
Setze zunächst den Punkt in die Gleichung ein:
Setze nun den Punkt in die Gleichung ein:
Du erhältst folgendes Gleichungssystem:
Löse das Gleichungssystem mithilfe des Additionsverfahrens.
(Hinweis: Du kannst das Gleichungssystem auch mit jedem anderen Verfahren lösen, bei Parabelgleichungen ist jedoch das Additionsverfahren häufig das einfachste!)
Subtrahiere von :
Löse die entstandene Gleichung:
Setze in ein:
Du erhältst die Funktionsgleichung, die in der Angabe steht:
Zeichne die beiden Funktionsgraphen, die Parabel mithilfe einer Wertetabelle, die Gerade mithilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts:
Punkte auf der Parabel und Punkte auf der Gerade besitzen dieselbe Abszisse . Diese Punkte bilden zusammen mit Punkten und Rauten , wobei gilt:
LE und .
Zeichnen Sie die Rauten für und für in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
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Um die Aufgabe bearbeiten zu können, brauchst du Wissen über die Eigenschaften einer Raute.
Schau dir zunächst die Raute mit an. Da alle Punkte auf der Parabel liegen, gehst du um zu finden beim -Wert nach unten bis zur Parabel. Gleiches machst du mit der Gerade: Gehe beim -Wert nach unten, bis du die Gerade triffst und markiere hier .
Da Rauten achsensymmetrisch bezüglich ihrer Diagonalen sind, liegen die Punkte und auf der Mittelsenkrechten. Konstruiere also die Mittelsenkrechte.
Da die Strecke cm lang ist und Spiegelachse ist, liegt cm rechts von und cm links von (Beschriftung ist immer gegen den Uhrzeigersinn).
Verbinde nun nur noch die vier Punkte, um die Raute zu erhalten:
Wiederhole die Schritte für , um die zweite Raute zu erhalten. Dein Koordinatensystem sollte jetzt (eventuell mit Konstruktionslinien) so aussehen:
Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von es Rauten gibt. Geben Sie das Intervall für an.
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In Aufgabe b) ist angegeben, dass es nur Rauten gibt, wenn , also wenn die Punkte über liegen. Das ist der Fall, wenn die Gerade über der Parabel verläuft. Im Graphen kannst du vielleicht schon sehen, dass das für -Werte zwischen und der Fall ist. Rechnerisch nachweisen kannst du dies, indem du die Schnittpunkte berechnest.
Setze die Funktionen gleich, um die Schnittpunkte zu berechnen und bringe alles auf eine Seite, damit du die quadratische Gleichung lösen kannst.
Löse mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel):
Setze , , ein:
Die Schnittpunkte der Graphen sind bei und . Wie man im Koordinatensystem sieht, liegt die Gerade zwischen diesen Werten oberhalb der Parabel. Es gibt also Rauten, wenn .
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: LE.
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels und die Seitenlänge der Raute .
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Die Länge der Strecke kannst du berechnen, indem du von abziehst.
Du erhältst dann:
Um den Winkel zu berechnen, verwenden wir den Tangens. (Alternativ kannst du auch zuerst die Seitenlänge berechnen und dann den Sinus oder Kosinus verwenden.) Wenn du die Raute betrachtest, kannst du erkennen, dass der Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck liegt.
Die Gegenkathete ist dann und die Ankathete ist . Du weißt schon, dass ist, den Wert von kannst du mit der Formel von oben ausrechnen:
Eingesetzt in die Formel des Tangens erhältst du dann:
Nun musst du auf dieses Ergebnis den Arkustangens anwenden, um den halben Winkel zu erhalten:
Wenn du nun mit multiplizierst, erhältst du als Endergebnis
Um die Seitenlänge zu berechnen, kannst du den Satz des Pythagoras verwenden. Denn ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten und .
Die Seitenlänge hat also den Wert .
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte .
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Die -Koordinate des Punkts liegt einen Schritt in -Richtung weiter rechts, als die Abszisse von (Weil die Strecke immer die Länge hat).
Sie hat also den Wert .
Die -Koordinate von hat denselben Wert, wie die -Koordinate des Mittelpunkts der Strecke . Nun kannst du als den Mittelwert von und berechnen:
Und als Lösung ergibt sich .
Du kannst dir das in diesem Applet nochmals veranschaulichen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Begründen Sie rechnerisch, dass der Flächeninhalt der Rauten stets kleiner als FE ist.
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Den Flächeninhalt der Raute berechnest du mit der Formel
Du weißt, dass immer gleich ist. Das heißt, dass nur von der Länge der Strecke abhängt. Nun möchtest du herausfinden, wie lang diese Strecke maximal werden kann, du erhältst also eine Extremwertaufgabe. Diese kannst du jetzt mithilfe der quadratischen Ergänzung lösen.
Nun ergänzt du den Term in der Klammer mit . (Auf die kommst du, wenn du dich an die binomische Formel erinnerst und erkennst, dass ist.)
Hier wendest du dein Wissen über die 2. binomische Formel an.
Das multiplizierst du wieder aus und du erhältst die Scheitelform der Gleichung.
Daraus kannst du den Maximalwert ablesen. Er beträgt bzw. gerundet Der Flächeninhalt der Raute ist also maximal Flächeneinheiten groß und damit stets kleiner als .