Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks her:
Die Summe der quadrierten Katheten (a und b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c).
Detaillierte Einführung
In diesem Video wird der Satz des Pythagoras sehr ausführlich erklärt.
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Beispiel
Gegeben sind die beiden Katheten und eines rechtwinkligen Dreiecks.
Berechne die Hypotenuse .
Setze in den Satz des Pythagoras ein und rechne die rechte Seite aus.
Umformung: \sqrt{ }
Ziehe die Wurzel
(Bemerkung: Die Lösung scheidet aus, weil eine Länge nicht negativ sein kann.)
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Video mit Beispielrechnungen
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Für den Satz des Pythagoras gibt es viele, sehr verschiedene Beweise. Einer soll hier beschrieben werden. Er macht nichts anderes, als sich mit dem rechtwinkligen Dreieck ein bestimmtes Quadrat zusammenzusetzen und dessen Fläche dann auf zwei verschiedene Arten auszudrücken.
Erklärung | Darstellung/Gleichung |
|---|---|
Wir starten mit einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck |  |
und setzen uns daraus ein Quadrat zusammen. |  |
Dann können wir die Fläche A des großen Quadrates auf zwei verschiedene Arten ausdrücken. (1) |  |
(2) |  |
Durch Gleichsetzen erhalten wir die Gleichung ... | |
... die man umformen kann zu |
Pythagoras beschreibt auch Flächengleichheit
Für jede positive Zahl beschreibt die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge . Genauso kann man sich und als Fläche von Quadraten vorstellen.
Der Satz des Pythagoras gibt somit auch einen Zusammenhang der Flächen über den Katheten und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck an. Anschaulich kann man dies an folgenden Applet erkennen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen über den Katheten gleich groß wie die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.
Anwendungen
Rechtwinklige Dreiecke kommen sehr häufig vor. Damit hat der Satz des Pythagoras sehr viele Anwendungen.
Beispiele aus der Praxis
- Berechnung von Streckenlängen in Gebäuden
- Berechnungen an weiteren Figuren und Körpern
- usw.
Als Hilfsmittel im Koordinatensystem
- Berechnung des Abstandes zweier Punkte
Mathematische Spielereien
- Wurzelschnecke (zum exakten Zeichnen von Strecken der Längen )
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