Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, welche du durch Umformungen in die Form
bringen kannst. Hierbei ist und .
Beispiele für quadratische Gleichungen:
aber auch:
- , da die Gleichung in umgeformt werden kann.
- , da die Gleichung in umgeformt werden kann.
Teste dein Wissen: Erkenne quadratische Gleichungen
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Anzahl der Lösungen
Die Anzahl der Lösungen kannst du grafisch oder rechnerisch herausfinden.
Grafisch kannst du die Funktion zeichnen und dann die Anzahl an Nullstellen ablesen. Für die Nullstellen einer Parabel gilt nämlich
- Liegt die Parabel komplett oberhalb der x-Achse oder komplett unterhalb, dann gibt es keine Lösung.
- Liegt der Scheitel der Parabel auf der x-Achse, dann gibt es genau eine Lösung.
- Geht die Parabel (zweimal) durch die x-Achse, dann gibt es genau zwei Lösungen.
Rechnerisch kannst du die Anzahl der Lösungen bestimmen, in dem du die Diskriminante berechnest.
keine Lösung
genau eine Lösung
genau zwei Lösungen
Lösungsformeln
Um nun auch herauszufinden, was die Lösung der quadratischen Gleichung ist, kannst du immer die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden.
Das ist nicht immer die einfachste Methode, aber dazu mehr im Abschnitt "Geschicktes Lösen von quadratischen Gleichungen".
Mitternachtsformel
Eine häufig genutzte Technik zum Lösen quadratischer Gleichungen ist die Mitternachtsformel.
Die Lösung einer Gleichung der Form bestimmst du über die Formel:
Beispiel:
Löse die Gleichung .
Lösung:
Lies die Werte für , und ab und setze in die Mitternachtsformel ein.
und
pq-Formel
Die pq-Formel kannst du auf quadratische Gleichungen der Form mit anwenden.
Die Lösung der Gleichung ist dann
Beispiel:
Löse die Gleichung .
Lösung:
Da vor noch ein Faktor steht, teile zuerst die gesamte Gleichung durch .
Umformung: :3
Wende nun die pq-Formel auf den Term an.
Lies hierfür die Werte und ab:
und
Satz von Vieta
Der Satz von Vieta ist eine Lösungsmethode, mit der du durch Probieren Nullstellen erraten kannst. Die Methode eignet sich also nur, wenn die Lösungen der Gleichung einfach sind. Du kannst mit der Methode aber auch schnell deine berechneten Nullstellen überprüfen.
Die Lösungen und einer Gleichung der Form erfüllen nach dem Satz von Vieta nämlich die folgenden Bedingungen:
Beispiel:
Löse die Gleichung .
Lösung:
Lies die Werte für und ab. Hier ist und .
Suche nun Zahlen und , die folgende Gleichungen erfüllen:
- und
Wenn du nur ganze Zahlen betrachtest, ist nur für
- und oder
- und .
Probiere, ob eins der Paare auch die erste Bedingung erfüllt:
- :
- :
Für und werden beide Bedingungen erfüllt. Also sind die Lösungen der Gleichung und .
Hinweis: Lösungen wie und lassen sich mit diesem Verfahren kaum erraten. Hierfür benötigt man andere Lösungsmethoden.
geschicktGeschicktes Lösen von quadratischen Gleichungen
Quadratische Gleichungen können je nach Form auch viel leichter gelöst werden als mit Mitternachtsformel oder pq-Formel. Hier kommt es darauf an, in welcher Form sie vorliegen.
Folgende Formen können unterschieden werden bzw. hier betrachtet:
- (gemischt-quadratische Gleichung)
- (Rein-quadratische Gleichung)
- (Nullprodukt)
- (Scheitelform)
Rein-quadratische Gleichung
Rein-quadratische Gleichungen erkennst du schnell daran, dass der Summand "mit " fehlt. Man löst sie, indem man nach auflöst und die Wurzel zieht.
Beispiel:
Löse
Lösung:
Umformung: +18
Löse nach auf.
Umformung: :2
Umformung: \sqrt{}
Ziehe die Wurzel.
interaktiv rein-quadratische Gleichungen lösen
Im folgenden Applet kannst du dir Schritt für Schritt eine rein-quadratische Gleichung lösen lassen. Du siehst, wie sich die linke und rechte Seite der Gleichung als Graphen verändern und kannst in der Wertetabelle die Änderungen nachvollziehen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Nullprodukt
Ein Nullprodukt ist ein Produkt, dessen Ergebnis ist. Nullprodukte sind zum Beispiel folgende Gleichungen:
Liegt deine Gleichung in dieser Form vor oder lässt sich leicht darin überführen, kannst du die Lösungen der Gleichung ablesen.
Beispiel:
Löse die Gleichungen
a)
b)
Lösung:
zu a)
Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Also muss oder sein.
Die Gleichung ist also erfüllt für und .
zu b)
Die Gleichung kannst du zu einem Nullprodukt umformen:
Somit muss oder sein.
Die Lösungen der Gleichung sind also und .
interaktiv Gleichungen mit Nullprodukten lösen
Im folgenden Applet kannst du dir Schritt für Schritt eine quadratische Gleichung in der Form eines Nullprodukts lösen lassen. Du siehst, wie sich die linke und rechte Seite der Gleichung als Graphen verändern und kannst in der Wertetabelle die Änderungen nachvollziehen.
Es wird hier zudem in zwei verschiedene Nullprodukte unterschieden:
Den Typ Nullprodukt 1 erkennst du leicht daran, dass der Summand "ohne x" fehlt.
Hier kann man immer ausklammern und (wie beim Typ Nullprodukt 2) den Satz vom Nullprodukt anwenden. Die Null ist hier übrigens immer eine Lösung:
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Beim Typ Nullprodukt 2 kannst du die Lösungen mit etwas Übung direkt ablesen.
Hier gibt es immer genau zwei Lösungen, außer wenn ist. Wenn u oder v null sind, kannst du die Gleichung auch wie beim Fall Nullprodukt 1 lösen.
Achte darauf, dass hier auf einer Seite tatsächlich die Null steht.
Nur dann kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden (andernfalls musst du ausmultiplizieren und bekommst dann in der Regel eine gemischt-quadratische Gleichung).
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Gleichungen in Scheitelform
Quadratische Gleichungen in der Scheitelform kann man auch mithilfe der binomischen Formeln in eine gemischt-quadratische Gleichung umformen und dann wie oben beschrieben lösen. Deutlich einfacher ist hier jedoch die Technik des Rückwärtsrechnens:
Beispiel:
Löse die Gleichung .
Lösung:
Umformung: +12
12 auf die rechte Seite bringen.
Umformung: :3
Durch 3 teilen.
Umformung: \sqrt{ }
Wurzel ziehen.
Umformung: +1
1 addieren.
allgemeines Vorgehen
Umformung: -e
e auf die rechte Seite bringen.
Umformung: :a
Durch a teilen.
Umformung: \sqrt{ }
Wurzel ziehen, falls
Umformung: +d
d addieren.
interaktiv Gleichungen in Scheitelform lösen
Im folgenden Applet kannst du dir Schritt für Schritt eine Gleichung in Scheitelform lösen lassen. Du siehst, wie sich die linke und rechte Seite der Gleichung als Graphen verändern und kannst in der Wertetabelle die Änderungen nachvollziehen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
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