Bestimme die Wertemenge der folgenden Funktionen für den vorgegebenen Definitionsbereich
mit 3]
Lösung anzeigen
Da die Definitionsmenge auf beiden Seiten eingeschränkt ist und beide Ränder eingeschlossen sind, gehst du wie folgt vor:
- Bestimme die Extrempunkte im Definitionsbereich, insbesondere die y-Koordinaten.
- Bestimme die Randextrempunkte, insbesondere die y-Koordinaten.
- Die Wertemenge setzt sich zusammen aus dem kleinsten und dem größten y-Wert.
Extrempunkte der Funktion
Bestimme die Kandidaten für Extrempunkte, indem du die Nullstellen der Ableitung bestimmst:
Umformung: +15
Umformung: :15
Beachte, dass die Wurzel hier zwei Lösungen besitzt:
Beide Nullstellen der Ableitung haben die Vielfachheit 1, sind also Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, deshalb sind beide Extremstellen.
Gleichzeitig liegt aber nicht in der Definitionsmenge und wird deshalb nicht weiter untersucht.
Die Art der Extremstelle kannst du z.B. mit der 2. Ableitung ermitteln:
Setze die gefundene Nullstelle in die 2. Ableitung ein:
Tiefpunkt
Die Lage der Extremstelle bestimmst du, indem du in die Ausgangsfunktion einsetzt:
Einziger "normaler" Extrempunkt in der Definitionsmenge:
Randextrempunkte
Da beide Ränder der Definitionsmenge eingeschlossen sind, gibt es an beiden Rändern einen Randextrempunkt, dessen y-Koordinate ebenfalls die Wertemenge beeinflusst.
Bestimme die y-Koordinaten durch einsetzen:
Art der Randextrempunkte
Die Art der Randextrempunkte sind für die Wertemenge nicht wichtig, aber du musst sie häufig auch angeben, weil nach der Art und Lage aller Extrempunkte gefragt ist.
Um die Art des Randextrempunkts zu bestimmen, untersuchst du, ob der Graph an dieser Stelle gerade steigt oder fällt, am einfachsten geht das mit einer Monotonietabelle:
0 | <x< | 1 | <x< | 3 | |
|---|---|---|---|---|---|
Vorzeichen | (Rand) | - | 0 | + | (Rand) |
Verlauf | (Rand) | (Rand) | |||
Art Extrempunkt | Randhochpunkt | Tiefpunkt | Randhochpunkt |
Wertemenge aufstellen
Die Wertemenge wird beeinflusst durch den Tiefpunkt und die Randextrempunkte. Suche unter diesen drei den kleinsten und den größten y-Wert:
Es ergibt sich die Wertemenge
in
Lösung anzeigen
Da die Definitionsmenge auf beiden Seiten eingeschränkt ist aber nur ein Rand eingeschlossen ist, gehst du wie folgt vor:
- Bestimme die Extrempunkte im Definitionsbereich, insbesondere die y-Koordinaten.
- Bestimme den Randextrempunkt am linken Rand, insbesondere die y-Koordinaten.
- Bestimme das Grenzwertverhalten für den rechten Rand, also den Wert von .
- Die Wertemenge setzt sich zusammen aus dem kleinsten und dem größten y-Wert.
Extrempunkte im Definitionsbereich
Bestimme die Kandidaten für Extrempunkte, indem du die Nullstellen der Ableitung bestimmst:
Verwende die Mitternachtsformel, um die Lösungen zu bestimmen:
besitzt keine Lösung, also hat die Funktion keine Extrempunkte im Definitionsbereich.
Randextrempunkt am linken Rand
Da der linke Rand der Definitionsmenge eingeschlossen ist, gibt es an diesem Rand einen Randextrempunkt, dessen y-Koordinate ebenfalls die Wertemenge beeinflusst.
Bestimme dazu die y-Koordinate des Randextrempunkts:
Grenzwert am rechten Rand
Da der rechte Rand der Definitionsmenge nicht eingeschlossen ist, darf nicht offiziell berechnet werden, auch wenn im Term nichts dagegen spricht. stattdessen musst du den Grenzwert angeben.
(Du berechnest dafür "hinter den Kulissen" trotzdem einfach , da bei ganzrationalen Funktionswerten im Gegensatz zu z.B. gebrochenrationalen Funktionen jede Zahl aus eingesetzt werden darf.)
Diesen Grenzwert musst du aus der Wertemenge ausschließen, denn da nicht eingesetzt werden kann, darf der Wert von auch nicht angenommen werden.
Wertemenge angeben
Die Wertemenge besteht aus den Werten an den beiden Rändern, da es keine weiteren Extrempunkte gibt. Dabei muss der Wert bei ausgeschlossen werden:
mit
Lösung anzeigen
Da die Definitionsmenge auf beiden Seiten eingeschränkt ist und beide Ränder eingeschlossen sind, gehst du wie folgt vor:
- Bestimme die Extrempunkte im Definitionsbereich, insbesondere die y-Koordinaten.
- Bestimme den Randextrempunkt am linken Rand, insbesondere die y-Koordinaten.
- Die Wertemenge setzt sich zusammen aus dem kleinsten und dem größten y-Wert aller Extrema.
Kandidaten für Extremstellen
Bestimme die Kandidaten für Extrempunkte, indem du die Nullstellen der Ableitung bestimmst:
3x ausklammern. (Nur x ausklammern auch ok)
Mit dem Satz vom Nullprodukt kannst du und einzeln betrachten:
Umformung: :3
und die weiteren Nullstellen erhältst du durch Anwendung der Mitternachtsformel auf
und somit und
Alle Nullstellen der Ableitung haben die Vielfachheit 1, weshalb an allen drei eine Extremstelle besitzen wird.
Außerdem liegen alle Extremstellen im Definitionsbereich.
Arten aller Extrema und Randextrema
Fertige eine Monotonietabelle an, um alle Extremstellen gleichzeitig zu untersuchen
-3 | <x< | -1,5 | <x< | 0 | <x< | 2 | <x< | 3 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
VZ f' | (Rand) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | (Rand) |
(Rand) | (Rand) | ||||||||
Rand- HOP | TIP | HOP | TIP | Rand- HOP |
Lage aller Extrema und Randextrema
Setze jeden x-Wert in den Funktionsterm von f ein:
Wertemenge angeben
Die Wertemenge setzt sich zusammen aus dem kleinsten und dem größten y-Wert aus dem letzten Schritt. Da beide Ränder eingeschlossen sind, gibt es nichts weiter zu beachten.