Diskutiere folgende Funktionen so weit, bis du den Graphen zeichnen kannst. Gib gegebenenfalls die Asymptoten an:
Lösung anzeigen
Definitionsbereich festlegen
Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Die -Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion ebenfalls keine besitzt.
Ableitungen
1. Ableitung
Die Ableitung von ist wiederum . Der Faktor bleibt bestehen.
2. Ableitung
Selber Vorgang wie bei der ersten Ableitung.
Extrema bestimmen
Da nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.
Wendepunkte bestimmen
Da nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.
Grenzwertbetrachtung
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen betrachtet werden.
gegen
gegen
Damit besitzt eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an .
Symmetrieverhalten
Ersetze durch .
Da weder noch ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
Monotonieverhalten
Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von . Da keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von auch nicht.
Der erste Faktor ist eine Konstante und ist positiv, der zweite Faktor ist in immer positiv, wodurch stets positiv ist.
Damit ist die Funktion streng monoton steigend in .
Graph
