Gegeben ist die Funktion mit und maximalem Definitionsbereich . Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen von .
Zeigen Sie, dass gilt und dass symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von an.(5BE)
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Definitionsbereich von :
Bestimme Definitionsbereich .
Du hast hier eine gebrochenrationale Funktion vorliegen. Bei dieser darf der Nenner nicht werden.Um deinen Definitionsbereich zu bestimmen, musst du herausfinden für welche der Nenner wird.
Setze den Nenner von gleich .
Schließe diese Punkte aus deinem Definitionsbereich aus.
Der Definitionsbereich von ist ganz ohne und .
Symmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs:
Zeige, dass die Funktion symmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Setze für ein.
Somit hast du gezeigt, dass punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.
Nullstelle von :
Berechne die Nullstelle von . Setze gleich .
Der Graf schneidet die -Achse im Punkt . Die Nullstelle ist .
Asymptoten von :
Bestimme die drei Asymptoten der gebrochenrationalen Funktion . Setze den Nenner gleich , um die senkrechten Asymptoten zu ermitteln.
Die senkrechten Asymptoten sind bei und .
Bestimme den Grenzwert von für .
Klammere dazu die höchste Potenz aus.
Du erhältst die Teile und , welche beide den Grenzwert haben für . Nun teile geteilt durch . Das ergibt wiederum .
Die waagrechte Asymptote liegt somit bei .
Die drei Asymptoten sind und .
Weisen Sie nach, dass die Steigung von in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die -Achse schneidet.(4BE)
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Negative Steigung von
Durch die Ableitung kannst du zeigen, dass die Steigung von in jedem Punkt negativ ist. Leite die Funktion ab. Benutze die Quotientenregel.
Zeige, dass die Ableitung immer negativ ist. Der Zähler ist immer negativ.
Der Nenner ist immer positiv.
Negativ geteilt durch positiv ist negativ. Daraus folgt, dass die Abbildung immer negativ ist. Die Steigung von ist in allen Punkten negativ.
Größe des Schnittwinkels
Der Graph schneidet die x-Achse im Punkt . (in Teilaufgabe a) berechnet) Setze die -Koordinate in die Ableitung ein.
Setze den Tangens von gleich .
Der Graph muss rechts vom Ursprung unterhalb und links vom Ursprung oberhalb der -Achse liegen. Der Winkel unter dem die -Achse schneidet beträgt .
Skizzieren Sie in der Abbildung den darin fehlenden Teil von unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.(3BE)
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Zeichne die Funktion .
1.Zeichne dir zur Hilfe die drei Asymptoten von Teilaufgabe a) ein. 2.Spiegle den gegebenen Teil am Koordinatenursprung. 3.Zeichne die Nullstelle ein. 4.Um den mittleren Teil der Funktion zu zeichnen, orientierst du dich an dem Winkel (Teilaufgabe b)) und an den Asymptoten.
Die Funktion mit Definitionsbereich unterscheidet sich von der Funktion nur hinsichtlich des Definitionsbereichs. Begründen Sie, dass die Funktion nicht umkehrbar ist, die Funktion dagegen schon. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von in die Abbildung ein.(4BE)
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Umkehrbarkeit von
Prüfe die Umkehrbarkeit.
Für die Funktion existieren Geraden parallel zur -Achse (hier ), die den Graphen 2-mal schneiden. Es gibt -Werte zu denen es mehrere -Werte gibt. Daraus folgt, dass nicht umkehrbar ist.
Wenn du jetzt den Definitionsbereich einschränkst, wie bei der Funktion , dann gibt es zu jedem -Wert nur ein . Du kannst dies an der Abbildung nochmal überprüfen. Somit ist die Funktion umkehrbar.
Umkehrfunktion von
Trage die Umkehrfunktion von in das Koordinatensystem ein. Spiegle an der Winkelhalbierenden .
Die türkise Funktion ist die Umkehrfunktion von .
Der Graph von , die -Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen und mit schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt ein. Bestimmen Sie . (Ergebnis: )(5BE)
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Berechne die Größe des Flächenstücks zwischen , der -Achse und den Gleichungen und mit .
Eine Skizze zur Veranschaulichung:
Die Skizze zeigt das Flächenstück, welches beschreiben soll. Die Gerade mit . ist in der Abbildung beispielhaft bei eingezeichnet, kann aber alles größer sein.
Erinnere dich daran, dass das Integral eine Flächenbilanz darstellt. Wenn eine Funktion nur oberhalb der x-Achse verläuft, lässt sich die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse mithilfe des Integrals berechnen.
In Teilaufgabe a) hast du gesehen, dass die waagerechte Asymptote hat und die einzige Nullstelle von der Punkt ist. Für muss also der Graph von immer oberhalb der x-Achse verlaufen.
Das Integral, welches den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse beschreibt, ist also . Das gesuchte Flächenstück wird begrenzt durch die beiden Geraden und . Daran kannst du sehen, dass die untere Grenze für das bestimmte Integral 10 ist und die obere . Insgesamt ergibt sich das folgende bestimmte Integral zur Berechnung von :
Wenn du das Integral genauer betrachtest, fällt dir auf, dass im Zähler des Bruches die Ableitung vom Nenner steht. Es gilt nämlich .
Eine Stammfunktion für Brüche der Art ist gegeben durch (siehe auch Unterpunkt "Logarithmische Integration" des Artikels "Stammfunktion finden").
Das Integral lässt sich also wie folgt lösen:
Wenn du das Integral weiter vereinfachen willst, musst du dir über die Betragsstriche Gedanken machen. Da unser Flächenstück nach unten durch begrenzt wird, betrachten wir nur diejenigen , die erfüllen. Für gilt . Du kannst also die Betragsstriche weglassen, da im betrachteten Bereich nur positive Werte annimmt. Die weitere Rechnung schaut so aus:
Die letzte Zeile ergibt sich aus den Rechenregeln des Logarithmus.
Insgesamt hast du herausgefunden, dass für den Flächeninhalt des betrachteten Flächenstückes die Formel gilt.
Ermitteln Sie so, dass das Flächenstück aus Aufgabe 1e den Inhalt 100 besitzt.(3BE)
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In Teilaufgabe e) hast du bereits eine Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes hergeleitet. Dein Ziel ist es, s so zu bestimmen, dass . Dazu musst du folgende Gleichung nach auflösen:
Da in Teilaufgabe e) gegeben ist, dass größer als 10 ist, kommt für nur die positive Lösung infrage.
Damit der Flächeninhalt ist, muss also sein.
Bestimmen Sie das Verhalten von für .(2BE)
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In dieser Teilaufgabe sollst du das Verhalten des Flächeninhaltes bestimmen, wenn s gegen unendlich läuft. Hierfür musst du den Grenzwert berechnen.
Betrachte hierfür nun erst den Term . Dies ist eine quadratische Funktion . Lässt man in g das gegen unendlich streben, so geht der Funktionswert gegen unendlich, da
Für den Grenzwert des natürlichen Logarithmusgilt .
Insgesamt ergibt sich also für den Grenzwert des Flächeninhaltes :
Wenn gegen unendlich geht, strebt also auch der Flächeninhalt gegen unendlich.