In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene , der Punkt und die Gerade , gegeben.
Beschreiben Sie, welche besondere Lage die Ebene im Koordinatensystem hat. Weisen Sie nach, dass die Ebene die Gerade enthält. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von mit der -Achse und mit der -Achse an und veranschaulichen Sie die Lage der Ebene sowie den Verlauf der Geraden in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung). (6 BE)
Die -Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt und verläuft entlang der Geraden . Der Vektor beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.
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Besondere Lage von E:
Bei diesem Stichwort musst Du Ausschau halten nach Parallelität zu einer anderer Ebene oder Gerade, insbesondere zu den Koordinatenachsen.
Auffällig an der Koordinatenform der Ebene ist, dass die Koordinate nicht vorkommt. Der Koeffizient bei ist also Null. Wenn ein Punkt die Ebenengleichung erfüllt, dann auch alle weiteren Punkte mit einem beliebigen Wert für . Es ist, als ob man entlang der -Achse verschieben könnte und dann liegt er immer noch in der Ebene . Die Ebene ist also parallel zur -Achse.
Nachweis für :
Die Teilgleichungen für und der Parameterform von werden in eingesetzt:
Aus der allgemeingültigen Aussage folgt die Behauptung, d. h. liegt in .
Schnittpunkte mit Achsen:
Um die Achsenpunkte zu ermitteln, müssen lediglich die nicht betreffenden Koordinaten gleich Null gesetzt werden. Am Schnittpunkt mit der -Achse muss sein. Aus der Ebenengleichung folgt somit und insgesamt: S. Entsprechend folgt für den Schnittpunkt mit der -Achse: S.
Lage im Koordinatensystem:
Beachte beim Zeichnen im 3-dimensionalen Koordinatensystem, dass die Längeneinheit in -Richtung verkürzt ist! Praktikabel ist auf dem üblichen karierten Papier: Längeneinheit in -Richtung enstpricht einer Kästchendiagonale, während es in und -Richtung wie üblich Kästchen ( cm) sind. Mit dieser Wahl schaut ein Würfel auch im Schrägbild wie ein Würfel aus und genau das ist ja das Ziel.
Für das Zeichnen der Ebene nimmt man einerseits die Schnittpunkte und und kann damit die Spurgerade einzeichnen. Um andererseits den Eindruck zu stärken, dass die Ebene parallel zur -Achse verläuft, begrenzt man die Ebene im Schräbgild durch Parallelen zur -Achse.
Um die Gerade einzuzeichnen, empfiehlt es sich, den Aufpunkt und einen weiteren Punkt, am besten mit (um die Wurzel loszuwerden), einzutragen. Dieser Hilfspunkt ist in der Zeichnung mit bezeichnet.
Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt. (3 BE)
An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich - in Fahrtrichtung gesehen - eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene verläuft und den Mittelpunkt hat.
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Horizontale
Hier ist nach dem Winkel zwischen einer Geraden und der "Horizontalen" gefragt. Keinesfalls darfst Du die Horizontale mit dem Horizont verwechseln, den man für eine Gerade in -Richtung halten kann. Die Horizontale ist wie in der Aufgabe weiter oben beschrieben eine horizontale Fläche, nämlich die --Ebene.
Winkel zwischen Gerade und Ebene - senkrechte Projektion
Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der Winkel zwischen dieser Geraden und ihrer senkrechten Projektion in die Ebene.
Die senkrechte Projektion in die --Ebene wird in der nächsten Zeichnung nochmal extra veranschaulicht. Sie ist wie der Schattenwurf der Geraden durch ein Licht, das an jeder Stelle aus der -Richtung einfällt.
Winkel und Steigungsdreieck
Nun ist Dir wahrscheinlich klar, wie Du der Geraden ein Steigungsdreieck entnehmen kannst, um daraus den Neigungswinkel zu berechnen.
In -Richtung geht es vom Hilfspunkt zum Punkt um nach oben. In der --Richtung bewegt man sich dabei schräg nach hinten und zwar um in -Richtung und um in -Richtung. Insgesamt bewegt man sich entlang der Diagonale mit der Länge (Pythagoras) nach schräg hinten.
Diese Zusammenhänge sind in der nächsten Zeichnung ergänzt worden. Nun kann über die Steigung der gesuchte Neigungswinkel berechnet werden:
Lösungsalternative 1: Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Gerade und dem Normalenvektor der x₁–x₂-Ebene
Dass Du den Richtungsvektor der Geraden brauchst ist klar, aber die oben beschriebene Generierung der zweiten Richtung über die senkrechte Projektion liefert zwar anschaulich den gesuchten Winkel, ist aber mühsam.
Mit dem Normalenvektor zur Ebene hat man aber einen zweiten Vektor, der mit dem Richtungsvektor der Geraden den Winkel einschließt (s. Zeichnung).
Auf diese Weise ergibt sich als Ergänzungswinkel zu :
Lösungsalternative 2: Mithilfe des Winkels zwischen zwei Geraden
Falls Du aber den gesuchten Winkel eher als Winkel zwischen zwei Richtungsvektoren von Geraden siehst, dann hilft Dir die folgende Lösungsalternative weiter:
Mit Hilfe der Richtungsvektoren, des Skalarprodukts und den Richtungsvektoren der Geraden , , und ihrer senkrechten Projektion, , kommst du genauso ans Ziel.
Das Lot von M auf g schneidet g im Punkt B. Im Modell stellt den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt. Bestimmen Sie die Koordinaten von B und berechnen Sie den Kurvenradius im Modell. (5 BE)
Teilergebnis:
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Um die Aufgabe erfolgreich bearbeiten zu können, muss man eine Ebenengleichung in der Normalenform austellen können, den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene bestimmen können und den Abstand zweier Punkte berechnen können. Zunächst ist im nächsten Bild der weitere Verlauf der Achterbahn dargestellt.
Beim gesuchten Punkt ist der lineare, erste Abschnitt der Achterbahn eine Tangente an den Viertelkreisförmigen zweiten Abschnitt der Bahn. Die Gerade steht daher senkrecht auf dem Radius .
Daher stellt man eine Hilfsebene auf, die durch den gesuchten Punkt verläuft und durch , und deren Normalenvektor gerade der Richtungsvektor der Geraden ist.
Für einen Punkt der Ebene gilt dann in der Normalenform:
Da der gesuchte Punkt Schnittpunkt der Gerade mit der Hilfsebene ist, setzt man in die Normalenform an die Stelle von einen allgemeinen Punkt der Geraden ein. Die Gleichung, die entsteht, ist nach aufzulösen, wird in eingesetzt und man erhält den Punkt .
Mit ergibt sich aus der Geradengleichung .
Der Radius der Viertelkreisbahn ist die Länge des Differenzvektors .
Der Radius ist (Längeneinheiten).
Das Ende der Rechtskurve wird im Koordinatensystem durch den Punkt beschrieben. Begründen Sie, dass für den Ortsvektor des Punkts gilt: (2 BE)
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Mit Hilfe des Modells können folgende Fakten zusammengetragen werden:
- (Kreis).
- (Länge des Richtungsvektors).
- Am Ende der Vierteldrehung () zeigt in die gleiche Richtung wie
Daher gilt: .
Die Abbildung verdeutlicht diese Zusammenhänge:
Und in Wirklichkeit (ein Ausblick für Physiker)?
Gibt es wirklich Achterbahnen, wo auf einen geraden Bahnabschnitt ein Kreisbogen folgt? Ja, z. B. die wilde Maus, die auf vielen Volksfesten und Jahrmärkten zu finden ist, hier im Bild, allerdings nur im Modell:
Bei hohen Geschwindigkeiten werden solche Kombinationen allerdings vermieden, denn der Übergang vom linearen Abschnitt, d. h. , auf einen Kreisbogen, also , hätte das abrupte Einsetzen von Querkräften, die als Zentripetalkräfte wirken müssen, zur Folge. Das wäre ein heftiger Schlag für die Passagiere und eine schwere Materialbelastung. Bei solchen Kurvenfahrten oder auch an Hochgeschwindigkeitsweichen wird der Radius im Bahnverlauf mehrfach angepasst, so dass die Zentripetalkraft nach und nach anwächst.
Ein Wagen der Achterbahn durchfährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke und den Viertelkreis von nach dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von . Berechnen Sie die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem in der Realität entspricht. (4 BE)
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Mit dem Hinweis auf die durchschnittliche Geschwindigkeit soll klar gestellt werden, dass man mit der konstanten Geschwindigkeit rechnen soll, auch wenn der Wagen bei der Fahrt bergauf langsamer wird.
Für die weitere Lösung musst Du also aus der Physik oder Deinem Alltagswissen den Zusammenhang
parat haben. Aufgelöst nach der Zeit ergibt sich die hier benötigte Formel:
Die gesamte Weglänge ergibt sich aus der Summe der Weglänge und des Viertelkreisbogens , die sich aus dem Kreisumfang ergibt. Für die benötigte Zeit gilt also:
Der betrachtete Teil der Fahrt dauert ca. s.