Stellt man sich einen Vektor als einen Pfeil vor, so bezeichnet man als seinen Betrag die Länge der Strecke vom Fuß bis zur Spitze. Man spricht daher auch oft von der Länge des Vektors.
Notation: Für den Betrag eines Vektors benutzt man das Symbol . In vielen Büchern findet man auch die Schreibweise .
Berechnung
Der Betrag eines Vektors wird durch den Satz des Pythagoras berechnet. Die einzelnen Koordinaten werden dabei quadriert und addiert, dann wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.
In der Ebene
Für ist die Länge von :
Der Betrag eines Vektors ist auch gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst, also
Im Raum
Für ist die Länge von :
Der Betrag eines Vektors ist auch gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst, also
Beispiele
Übungsaufgaben
Berechne die Längen der folgenden Vektoren
Eingebetteter Serlo-Inhalt
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Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur Länge eines Vektors
Bezug zum Betrag von reellen Zahlen
Wie der Betrag einer reellen Zahl, kann auch der Betrag eines Vektors als der Abstand des Vektors "zur Null" (also zum Ursprung) verstanden werden. Daher benutzt man das Symbol für die Länge des Vektors .
Wie bei den reellen Zahlen gilt:
- Die Vektoren und haben immer den gleichen Betrag.
- Der Betrag von einem Vielfachen von ist gleich dem Betrag der reellen Zahl (!) , mal den Betrag des Vektors .
Anwendungen
Vektoren spielen in vielen Aspekten des realen Lebens eine Rolle. So lassen sich zum Beispiel
- Flugbahnen von Flugzeugen und Planeten, sowie
- physikalische Kräfte wie die Schwerkraft oder ein Magnetfeld
mithilfe von Vektoren beschreiben.
Die Länge der Vektoren, beschreibt dann
- die Geschwindigkeit eines Flugzeugs (oder eines Planeten) zu einem gewissen Zeitpunkt, oder auch
- das Gewicht eines Objekts (oder die Stärke eines Magnetfeldes)
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