Teil 2
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Teilaufgabe a)
Wir untersuchen die Symmetrie des Graphen auf Punktsymmetrie, indem wir für , einsetzen.
Beim Quadrieren bleibt der Term immer Positiv.
Außerdem bestimmen wir den Grenzwert gegen :
Forme die Potenz um.
Zähler und Nenner gehen jeweils gegen
Wegen der e-Funktion wächst der Nenner jedoch viel schneller und somit geht die Funktion insgesamt gegen null.
Teilaufgabe b)
Die Extrema der Funktion werden durch das Bilden und Nullsetzen der 1. Ableitung bestimmt.
Wende dafür die Produktregel an. Achte dabei darauf, bei der e-Funktion die Kettenregel anzuwenden.
Faktorisiere, um auf das Zwischenergebnis zu kommen.
Setze die Ableitungsfunktion Null um die Extrema zu berechnen.
Da die e-Funktion keine Nullstellen hat, muss nur der zweite Faktor null werden.
Umformung: +x^2
Setze in ein, um die dazugehörigen Funktionswerte zu erhalten:
Nach Aufgabenstellung ist dies der Punkt des Hochpunkts:
Auf dieselbe Weise erhalten wir:
Teilaufgabe c)
Änderungsrate
Für die mittlere Änderungsrate musst du die Steigung zwischen den beiden Punkten der Intervalle berechnen:
von im Intervall
Setze die Werte in die Funktion ein und fasse zusammen.
Um die lokale Änderungsrate an der Stelle zu berechnen, setze in die Ableitung ein:
Fasse zusammen.
Berechne den prozentualen Anteil:
Daher ist die prozentuale Abweichung .
Teilaufgabe d)
Wir überprüfen die Integralfunktion:
Das Integral beschreibt die Fläche zwischen der x-Achse und einem Graphen. Du müsstest das bestimmte Integral im Intervall berechnen und hierfür die Stammfunktion von herausfinden. Da jedoch in der Aufgabenstellung nur verlangt ist, dass man zeigt, ob diese Fläche beschreibt, ist es ausreichend nachzuweisen, ob die angegebene Funktion tatsächlich die Stammfunktion von der Funktion ist.
Leite die Funktion ab.
Wende die Kettenregel an
Bestimmte den Grenzwert gegen .
Forme die Potenz um.
Der Bruch geht gegen .
Somit geht die Funktion gegen 2.
Die Fläche unterhalb des Graphen nimmt immer zu, wird jedoch nie größer oder gleich .
Teilaufgabe e)
Gefragt ist nach der Fläche zwischen den beiden Graphen. Zunächst benötigt man die Grenzen der Integration, welche durch die Schnittpunkte der Funktionen gegeben sind.
Berechne die Schnittpunkte der Funktionen:
Umformung: :2
Umformung: -\dfrac x{e^2}
Faktorisiere die Gleichung.
Der erste Faktor wird für null.
Der zweite Faktor wird ebenfalls null gesetzt, um eine weitere Lösung zu finden:
Dafür muss nur die Potenz des ersten Zählers werden, da .
Umformung: :0,5
Ziehe die Wurzel.
Zeichne die Gerade h.
Gesucht ist noch die Fläche . Dafür kannst du die Fläche, die die Gerade im Intervall mit der -Achse einschließt (die in der Zeichnung oben markierte Fläche) von der Fläche abziehen, die die Funktion im Intervall mit der -Achse einschließt ( aus Teilaufgabe (d)).
Finde die Stammfunktion von heraus.
Fasse zusammen.