Das logistische Wachstum findet häufig in der Natur statt. Es beschreibt einen Wachstumsprozess, der zu Beginn annähernd exponentiell verläuft, dann jedoch abflacht und begrenzt ist. Diese Begrenzung gibt es oft aufgrund von Ressourcenknappheit.
Beispiele für logistisches Wachstum sind:
- Größenwachstum einer Pflanze
- Wachstum von Hefekulturen
- Bevölkerungswachstum in einem Land
- Ausbreitung einer Infektionskrankheit
Logistisches Wachstum am Beispiel einer Infektionskrankheit
Eine Infektionskrankheit (z.B. Corona) breitet sich in einem Land aus.
Zu Beginn des Infektionsgeschehens sind nur wenige Personen infiziert. Die Zahl der Infizierten wächst angenähert exponentiell ( Teil des Graphens). Je mehr Personen infiziert sind, desto mehr Personen werden neu infiziert.
(Ein rein exponentielles Wachstum zeigt die Kurve.)
Nach einer gewissen Zeit wird es immer schwerer, Nichtinfizierte (Gesunde) zu finden, die angesteckt werden können. Das Wachstum nimmt ab und wird zu einem begrenzten Wachstum, mit einer Schranke Teil des Graphens in der Abbildung).
Herleitung der Differenzialgleichung für logistisches Wachstum
Die Differenzialgleichung für logistisches Wachstum wird am obigen Beispiel einer Infektionskrankheit hergeleitet.
Die vorkommenden Variablen haben folgenden Bedeutung:
- ist die Zahl der Infizierten zum Zeitpunkt
- ist die Wachstumsschranke (obere Grenze für die Anzahl von Infizierten) (dabei ist )
- ist die momentane Änderungsrate oder Wachstumsgeschwindigkeit
Zu Beginn verhält sich das Wachstum exponentiell, da jeder Infizierte eine gewisse Zahl von Nichtinfizierten (Gesunden) ansteckt und diese wiederum weitere Personen anstecken.
Die momentane Änderungsrate (Wachstumsgeschwindigkeit) ist hier proportional zur Zahl der Infizierten. Je mehr Personen infiziert sind, desto mehr Personen werden neu infiziert. Mathematisch bedeutet das:
Aber ab einem bestimmten Zeitpunkt wird es immer schwerer, Nichtinfizierte zu finden, die angesteckt werden können. Das Wachstum nimmt ab.
Die momentane Änderungsrate ist jetzt proportional zur Zahl der Nichtinfizierten.
Die Zahl der Nichtinfizierten ergibt sich aus der Differenz der oberen Schranke zur momentanen Anzahl der Infizierten, also . Mathematisch bedeutet das:
Aus und folgt dann: oder:
Dieses nennt man Wachstumskonstante.
Gleichung ist die Differenzialgleichung für das logistische Wachstum.
Die Lösungen dieser Differenzialgleichung heißen logistische Funktionen.
Eine Lösung von ist:
nimmt Werte zwischen und an.
(Dabei ist der Anfangsbestand zur Zeit , also der Startwert.)
Beispiel Insektenpopulation
In einem Labor werden Insekten in Glasbehältern gezüchtet. Anfangs besteht die Population aus Insekten. Am nächsten Tag wurden Insekten gezählt. Man schätzt, dass es aufgrund des beschränkten Platzes maximal Insekten werden können.
a) Wie lautet die Wachstumsfunktion für die Zahl der Insekten?
b) Wie sieht der zugehörige Graph aus?
Lösung zu a)
Gegeben sind der Anfangswert der Insektenanzahl und die Schranke . Die Werte werden in die Gleichung für die logistische Funktion eingesetzt:
Setze und ein.
Vereinfache.
Vereinfache.
Bisher gilt:
Die unbekannte Wachstumskonstante kann über die Aussage, dass nach Tag Insekten vorhanden sind, berechnet werden.
Setze :
Setze und ein.
Umformung: \cdot(1+15\cdot e^{-400\cdot k\cdot 1})
Löse nach auf.
Umformung: :30
Kürze den Bruch.
Umformung: -1
Vereinfache die rechte Seite.
Fasse zusammen.
Umformung: :15
Umformung: \ln
Löse die e-Funktion auf.
Umformung: :(-400)
Somit folgt:
Antwort: Die Wachstumsfunktion für die Zahl der Insekten lautet:
Lösung zu b)
Für die Zeichnung des Graphen ist es sinnvoll, einige Funktionswerte zu berechnen:
t (in Tagen) | B(t): Anzahl Insekten (gerundete Werte) |
|---|---|
Graphische Darstellung der logistischen Wachstumsfunktion "Zahl der Insekten"
Weitere Eigenschaften der logistischen Funktion
1. Schnittpunkt mit der -Achse:
Zur Bestimmung des Schnittpunktes mit der -Achse setze :
Setze ein.
Vereinfache den Nenner.
Vereinfache.
2. Asymptotisches Verhalten:
Zur Bestimmung des asymptotischen Verhaltens der logistischen Wachstumsfunktion berechne den Grenzwert :
Betrachte zunächst nur den Nenner des Bruches:
Berechne den Grenzwert für :
Warum geht die obige e-Funktion gegen null?
Für geht gegen und der Bruch geht gegen .
Damit gilt:
Der ganze Bruch geht gegen , denn
Der Funktionsgraph nähert sich asymptotisch der Schranke .
3. Wendepunkt
Für die Berechnung des Wendepunktes müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
und Vorzeichenwechsel von an der Stelle
Die Ableitung von muss berechnet werden.
Die Ableitung ist bekannt:
Mit der Produktregel wird abgeleitet:
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Beim Wendepunkt muss sein:
Wegen muss die Klammer null werden.
Klammere aus.
Die logistische Funktion ist streng monoton steigend.
Daher ist und die Klammer muss null werden.
Umformung: +2\cdot B(t_W)
Löse nach auf.
Umformung: :2
Nun muss der Vorzeichenwechsel von an der Stelle überprüft werden.
Die logistische Funktion ist streng monoton steigend.
Daher ist und die Klammer bestimmt das Vorzeichen von .
Es gilt:
für ist
und
für ist
hat an der Stelle einen Vorzeichenwechsel.
Die beiden Bedingungen sind somit erfüllt.
4. Maximale Wachstumsgeschwindigkeit
An der Stelle der größten Steigung ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal.
Die größte Steigung tritt im Wendepunkt auf, d.h. .
Setze in die erste Ableitung von die Koordinaten des Wendepunktes ein:
Setze die erste Ableitung von ein.
Zur Zeit ist . Setze für den Wert ein.
Berechne die Klammer.
Fasse zusammen.
Herleitung der Funktionsgleichung durch Integration
Gegeben ist die Differenzialgleichung . In dieser Anwendung ist stets , so dass die konstanten Lösungen und vernachlässigt werden dürfen.
Umformung: :\big(B(t)\cdot(S-B(t))\big)|\cdot \mathrm{d}t
Trennung der Variablen.
Umformung: \displaystyle\int_{ }^{ }
Integration.
Der Bruch kann mithilfe von Partialbruchzerlegung in eine Summe zerlegt werden:
Umformung: \cdot B(t)\cdot(S-B(t))
Kürze.
Löse die Klammer auf.
Klammere aus.
Koeffizientenvergleich liefert: und
Aus und aus und somit ist auch
Die Partialbruchzerlegung lautet somit:
Setze und ein.
Klammere aus.
Weiter mit der Integration:
Umformung: \cdot S
Bringe auf die andere Seite.
Benutze die Additivitätseigenschaft des Integrals.
Weil und steht kein Betrag im Logarithmus.
Wende ein Logarithmus-Gesetz an.
Umformung: e^{()}
Beseitige den .
Bilde den Kehrwert.
Löse den Bruch auf.
Umformung: +1
Löse nach auf.
Bilde den Kehrwert.
Umformung: \cdot S
Bisher gilt:
Mit folgt:
Setze ein.
Setze .
Umformung: \cdot(1+e^{-C})
Löse nach auf.
Umformung: :B_0
Umformung: -1
Für kann in der Term eingesetzt werden:
Spalte die -Funktion auf.
Für kann der Term eingesetzt werden.
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Eingebetteter Serlo-Inhalt