Ein Kind hat bei seiner Geburt eine Größe von . Nach Jahren ist das Kind groß. Als Erwachsener ist seine Größe .
Bestimme die logistische Wachstumsgleichung mit dem Ansatz:
Lösung anzeigen
Alle Maße sind in gegeben.
Aus der Aufgabenstellung folgt, dass ist. Die Schranke ist hier .
Der Parameter kann mit der Aussage, dass ist, berechnet werden.
Setze ein.
Umformung: \cdot(1+2,2075\cdot e^{-618,8\cdot k})
Umformung: :100
Umformung: -1
Umformung: :2,2075
Umformung: \ln
Umformung: :(-618,8)
Eingesetzt in:
Antwort: Die logistische Wachstumsgleichung lautet:
, in und in Jahren.
Wann hat das Kind eine Größe von erreicht?
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Setze :
Umformung: \cdot(1+2,2075\cdot e^{-0,31552\cdot t})
Löse nach auf.
Umformung: :160
Umformung: -1
Umformung: :2,2075
Umformung: \ln
Umformung: :(-0,31552)
Antwort: Nach rund Jahren hat das Kind eine Größe von erreicht.
In welchem Jahr ist die Wachstumsgeschwindigkeit des Kindes am größten?
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Die Stelle des größten Wachstums ist der Wendepunkt der logistischen Wachstumsfunktion. Für ihn gilt:
Setze :
Umformung: \cdot(1+2,2075\cdot e^{-0,31552\cdot t})
Umformung: :85
Umformung: -1
Umformung: :2,2075
Umformung: \ln
Umformung: :(-0,31552)
Antwort: Nach etwa Jahren ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten.
Das Wachstum gilt als abgeschlossen, wenn die jährliche Größenzunahme unter liegt. Wann ist das hier der Fall?
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Die maximal erreichbare Größe ist . Die jährliche Größenzunahme soll unter liegen, dann gilt das Wachstum abgeschlossen. Somit müssen mindestens erreicht werden. Setze also
Umformung: \cdot(1+2,2075\cdot e^{-0,31552\cdot t})
Umformung: 169
Umformung: -1
Umformung: :2,2075
Umformung: \ln
Umformung: :(-0,31552)
Antwort: Nach etwa Jahren gilt das Wachstum als abgeschlossen.
Wie sieht der Graph der Wachstumsfunktion aus?
