Als beschränktes oder begrenztes Wachstum wird ein Wachstum bezeichnet, das durch eine natürliche Schranke (auch Kapazitätsgrenze oder Sättigungsgrenze genannt) begrenzt ist.
Der Funktionsterm, der das nach oben beschränkte Wachstum beschreibt, besitzt die Struktur:
Wobei
- der Bestand nach einer Zeit ist,
- den Anfangswert bezeichnet,
- die Wachstumsrate bezeichnet, die auch mithilfe der Basis umformuliert werden kann
- die Zeit ist, die in die Funktion eingesetzt werden kann.
Schranken
Solche Schranken können z.B. sein:
- fehlender Raum: Platz für Seerosen in einem Teich,
- begrenzte Ressourcen: fehlendes Futter für Waldtiere,
- eine nicht zu über - oder unterschreitende Umgebungstemperatur.
Das Wachstum kann sowohl nach oben (beschränkte Zunahme) als auch nach unten (beschränkte Schrumpfung oder Abnahme) beschränkt sein.
Bei nach oben beschränktem Wachstum wird die Schranke nicht überschritten.
Die Schranke ist eine Asymptote, d.h. die Wachstumsfunktion nähert sich asymptotisch der Schranke . Es gilt:
Bei nach unten beschränktem Wachstum wird die Schranke nicht unterschritten.
Die Schranke ist eine Asymptote, d.h. die Wachstumsfunktion nähert sich asymptotisch der Schranke . Es gilt:
Die Wachstumsfunktion
Die Wachstumsfunktion für ein nach oben beschränktes exponentielles Wachstum lautet:
Bei Verwendung der -Funktion erhält man:
Dabei ist und .
Die Wachstumsfunktion für ein nach unten beschränktes exponentielles Wachstum lautet:
Bei Verwendung der -Funktion erhält man:
Dabei ist und .
Es gilt immer:
- : ist der Bestand zur Zeit ,
- : ist der Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor,
- : ist die Wachstumskonstante,
- : ist die Sättigungsgrenze (Schranke),
- : ist der Anfangsbestand zur Zeit , also der Startwert.
Einführungsbeispiel zum nach oben beschränkten exponentiellen Wachstum
An der Albrecht-Dürer-Schule mit Schülern wird das Gerücht verbreitet: "Der Vertrauenslehrer Herr Meyer heiratet in den Sommerferien eine Kollegin." Am Anfang kennen das Gerücht Schüler, von denen jeder das Gerücht weiterverbreitet. Nach einigen Tagen hat sich das Gerücht schon stark ausgebreitet, wie aus der folgenden Tabelle zu erkennen ist.
In der Tabelle sind sowohl die Schüler, die das Gerücht kennen , als auch jene Schüler, die das Gerücht noch nicht kennen aufgeführt. In einer weiteren Spalte wurde jeweils der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Restwerten berechnet. Dieser Quotient erweist sich als konstant.
(in Tagen) |
(Anzahl der Schüler, die das Gerücht kennen) | (Anzahl der Schüler, die das Gerücht noch nicht kennen) | |
|---|---|---|---|
0 | 10 | 1190 | |
1 | 486 | 714 | 0,6 |
2 | 772 | 428 | 0,6 |
3 | 943 | 257 | 0,6 |
4 | 1046 | 156 | 0,6 |
.... | .... | .... | .... |
8 | 1180 | 20 | 0,6 |
9 | 1188 | 12 | 0,6 |
10 | 1193 | 7 | 0,6 |
.... | .... | .... | .... |
In der graphischen Darstellung sind die Punkte und die Reste bis (Anzahl der Schüler, die das Gerücht noch nicht kennen) eingetragen.
Werden die Reste über der Zeit aufgetragen, so erkennt man, dass die Reste exponentiell abnehmen.
Aus der obigen Tabelle kann man entnehmen, dass der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Restwerten ist.
Der Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor ist also .
Für die exponentielle Abnahme der Reste gilt dann:
Setze ein.
Setze .
Umformung: +B(t)-c\cdot 0,6^t
Löse nach auf.
Der Parameter wird über die Anfangsbedingung bestimmt.
Setze ein.
und .
Umformung: +c-B_0
Löse nach auf.
Die Konstante wird in eingesetzt und man erhält die Wachstumsfunktion für ein nach oben beschränktes exponentielles Wachstum:
Aus dem Aufgabentext entnimmt man die Werte für den Anfangswert und die Schranke . Mit diesen Werten folgt dann:
Setze und ein.
Vereinfache.
Man hat nun die folgende Wachstumsfunktion erhalten:
Wird die Wachstumsfunktion mithilfe der -Funktion dargestellt, dann erhält man:
Dabei ist und .
Setze , und ein.
Vereinfache.
Die Wachstumsfunktion lautet nun:
Details anzeigen
Beim Wachstumsmodell des beschränkten Wachstums ist die momentane Änderungsrate von an einer Stelle proportional zur Differenz von Schranke und Funktionswert . Diese Differenz wird auch Sättigungsmanko (auch Restbestand bzw. Sättigungsdefizit) genannt.
Die momentane Änderungsrate ist , somit folgt:
oder
Die letzte Gleichung ist eine Differentialgleichung. Ihre Lösung erfolgt über Integration.
Umformung: : (S-B(t))
Umformung: \cdot(-1)
Umformung: \displaystyle\int_{}^{} \mathrm{d}t
Integriere über die Zeit.
Das linke Integral ist vom Typ her mit der Stammfunktion . Da ist, kann der Betrag wegfallen.
Umformung: e^{()}
Die Umkehrfunktion der -Funktion ist die -Funktion.
Es gilt: .
Umformung: +B(t)
Löse nach auf.
Umformung: -e^{-k\cdot t+C}
Das Ergebnis ist bisher:
Dabei ist die Integrationskonstante noch unbekannt. Sie kann über die Anfangsbedingung bestimmt werden.
Setze ein. .
.
Umformung: +e^C
Löse nach auf.
Umformung: -B_0
kann nun in eingesetzt werden:
Setze ein.
Vertausche die Faktoren.
Man hat die Wachstumsfunktion für ein nach oben beschränktes exponentielles Wachstum erhalten:
Dabei ist:
- : ist der Bestand zur Zeit ,
- : ist die Wachstumskonstante,
- : ist die Sättigungsgrenze (Schranke),
- : ist der Anfangsbestand zur Zeit , also der Startwert.
Eingebetteter Serlo-Inhalt
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