- Lösungsverfahren für alle separierbaren DGL der Form
- nur zur Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen zu empfehlen
- Gleichung so umformen, dass auf der linken Seite nur Glieder stehen, die enthalten und rechts nur solche, die enthalten. Anschließend auf beiden Seiten einzeln integrieren.
Was ist Trennung der Variablen?
Bemerkung:
Sowohl lineare, als auch nichtlineare Differentialgleichungen können separierbar sein. Allerdings ist das Lösungsverfahren der Trennung der Variablen aufgrund der hohen Fehleranfälligkeit nur zur Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen zu empfehlen. Zur Lösung linearer Differentialgleichungen bieten sich sicherere Methoden, wie beispielsweise der Exponentialansatz an. Aus diesem Grund beschränken wir uns in diesem Artikel auf die Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen mithilfe von Trennung der Variablen.
Warum sollte man Trennung der Variablen besser nur bei nichtlinearen Differentialgleichungen anwenden?
Wir betrachten die Differentialgleichung und lösen diese mittels Trennung der Variablen:
Dies ergibt sich, wenn wir die ursprüngliche Differentialgleichung durch teilen. Dann steht rechts eine .
Umformung: \int
Auf der linken Seite können wir die Integrationskonstante weglassen, weil wir diese später ohnehin mit der Konstante auf der rechten Seite zusammenfassen könnten (siehe weitere Beispiele hierzu unten).
Die Lösung ist also eine Schar von Parabeln. Wenn wir uns die Differentialgleichung nochmal ansehen, fällt uns auf, dass aber auch die Nulllösung eine Lösung der Differentialgleichung ist. Diese ist allerdings nicht in unserer berechneten Lösung enthalten. Die Nulllösung fällt bereits im ersten Umformungsschritt unserer Gleichung, in dem wir durch teilen, weg, weil man nicht durch null teilen darf. Damit schließen wir die Nulllösung aus, sodass diese in der Endlösung nicht mehr enthalten ist.
Die Umformungen der Differentialgleichungen und damit auch das teilen durch der Gleichung ist allerdings für die Trennung der Variablen unabdinglich. Deshalb fällt bei diesem Lösungsverfahren häufig unbemerkt die Nulllösung weg, obwohl diese ebenfalls eine nicht zu vergessende Lösung der Differentialgleichung darstellt.
Eine weitere Fehlerquelle ist der häufig bei der beidseitigen Integration auftretende natürliche Logarithmus . Integriert man beispielsweise auf einer Seite , so erhält man mit der Funktion in Betragsstrichen. Dadurch fällt das negative Vorzeichen von zwangsläufig weg, obwohl möglicherweise auch negative Lösungen die Differentialgleichung erfüllen würden.
Für viele Anwendungen in der Physik, bei denen man im Vorhinein beispielsweise nur positive Lösungen erwartet und auch die Nulllösung keinen Sinn ergibt, ist das Verfahren der Trennung der Variablen hingegen durchaus problemlos geeignet.
Beispiel:
- ist separierbar und entspricht der obenstehenden, allgemeinen Form: auf der linken Seite steht und auf der rechten Seite steht ein Produkt aus einer Funktion von (hier: ) mit einer Funktion von (hier: ).
- ist separierbar, weil man diese Gleichung umschreiben kann zu:
- ist separierbar. Hier ist und , denn dann ergibt das Produkt dieser beiden Funktionen den rechten teil der Gleichung.
- ist hingegen nicht separierbar, weil auf der rechten Seite kein Produkt aus einer Funktion von und einer Funktion von steht, sondern eine Subtraktion.
Das Besondere an separierbaren Differentialgleichungen ist nämlich, dass man diese so umformen kann, dass auf jeder Seite der Gleichung nur Terme einer Variablen stehen. Das macht deren Lösung besonders einfach, da man einfach jede Seite für sich integrieren kann.
Vorgehen
Bemerkung:
Wir behandeln hier so, als wäre es ein Bruch (z.B. durch das Multiplizieren mit ), obwohl es sich hier um die sogenannte Leibniz-Notation der Ableitung - also einfach eine andere Schreibweise der Ableitung - handelt.
Der Missbrauch dieser Notation als Bruch ist mathematisch nicht einwandfrei, sondern dient allein als Merkregel zur Veranschaulichung der Rechenschritte. Es lässt sich allerdings vielfach beweisen, dass die eigentlich inkorrekte Rechnung mit dennoch die richtigen Ergebnisse liefert.
Allgemein:
Gegeben sei die Differentialgleichung . Die Bedingung aus Schritt 1 ist daher selbstverständlich erfüllt.
Umformung: :g(y)
Schritt 2: Wir schreiben die Gleichung um, sodass links nur Glieder vorkommen, die enthalten und rechts nur solche, die enthalten. Dafür teilen wir durch .
Umformung: y'=\frac{dy}{dx}
Schritt 3: Wir schreiben nun zu um.
Zur Auflösung des unübersichtlichen Doppelbruches können wir diesen umschreiben:
Umformung: \cdot dx
Schritt 4: Um aus dem Nenner der linken Seite auf die rechte Seite (und damit auf die -Seite) zu bekommen, müssen wir die Gleichung mit multiplizieren
Umformung: \int
Weil wir die Variablen nun vollständig getrennt haben, können wir nun beide Seiten getrennt voneinander integrieren.
Würden wir nun für und explizite Funktionen einsetzen, könnten wir die Integrale noch berechnen. Hierbei treten Integrationskonstanten auf, die du auf keinen Fall weglassen darfst. Denn die Integrationskonstanten sind Teil der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung.
Beispiel:
Gegeben sei die Differentialgleichung .
Diese Differentialgleichung ist separierbar, weil links - wie in der allgemeinen Form - nur steht und rechts ein Produkt einer Funktion mit einer Funktion steht. Wir wollen diese Differentialgleichung nun lösen.
Umformung: :\frac{1}{2}y^2
Schritt 2: Wir formen die Gleichung um, sodass alle Glieder mit links und alle Glieder mit rechts stehen. Hierfür teilen wir durch , um dieses Glied nach links zu bekommen
Im Nenner links steht nun . Diesen Doppelbruch können wir umschreiben zu , weil geteilt durch ist dasselbe wie mit zu multiplizieren.
Umformung: y'=\frac{dy}{dx}
Schritt 3: Wir schreiben um.
Den Doppelbruch im Zähler können wir umformen, sodass wir einen einfachen Bruch erhalten: . Erklärung: Wir teilen den Zähler, also , ja durch und das ist dasselbe wie den Zähler mit zu multiplizieren.
Umformung: \cdot dx
Schritt 4: mit multiplizieren
Umformung: \int
Schritt 5: Nun können wir beide Seiten integrieren
Umformung: -C_1,\ :\left(-2\right)
Integrationskonstanten nicht vergessen! Schritt 6: Gleichung nach umstellen. Dafür eliminieren wir auf der linken Seite, sodass wir im nächsten Schritt nach auflösen können.
Umformung: Kehrbruch
Um nach aufzulösen, bilden wir auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrbruch. Die beiden Integrationskonstanten auf der rechten Seite können wir außerdem zu einer Konstante zusammenfassen, weil ja dennoch nur irgendeine reelle Zahl ist.
Im Nenner lässt sich nun ausklammern. Dies dürfen wir tun, weil irgendeine reelle Zahl ist, es bei der allgemeinen Lösung aber nicht darauf ankommt, welchen Zahlenwert diese Konstante annimmt. Deshalb können wir auch unbeschwert aus ausklammern. Es verändert sich hierbei zwar der Zahlenwert der Konstante, aber der Wert von ist uns ja sowieso egal. Damit lässt sich die gebrochen rationale Funktion übersichtlicher schreiben:
Das ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Wir überprüfen nun noch, ob die Nulllösung ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung ist. Dies ist der Fall, beim Einsetzen von in die obige Differentialgleichung erhält man die richtige Aussage . In diesem Fall ist die Nulllösung sogar schon in der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung enthalten, nämlich für den Fall . Insofern müssen wir die Nulllösung nicht extra notieren.
Tipp: Am besten die Lösung nochmal ableiten und anschließend in die Differentialgleichung einsetzen, um die Lösung zu überprüfen:
Kettenregel. Nun setzen wir und in die obige DGL ein.
Die rechte Seite können wir noch etwas vereinfachen:
Dies ist identisch und damit unsere Lösung richtig.
Beispiel:
Lösen der Differentialgleichung:
Umformung: :\sqrt{y}
Schritt 1: Die Bedingung für die Lösbarkeit einer DGL mithilfe von Trennung der Variablen ist erfüllt (, ). Um die Variablen zu trennen, teilen wir durch
Schritt 3: Umschreiben von
Umformung: \cdot dx
Schritt 4: Multiplizieren mit
Umformung: \int
Schritt 5: beidseitig integrieren
Umformung: -C_1,:2
Wir eliminieren nun
Die Integrationskonstanten können wir wieder zu einer gemeinsamen Konstante verschmelzen. Außerdem quadrieren wir die Gleichung, um die Wurzel wegzubekommen.
Die Konstante müssen wir nicht quadrieren, weil auch eine konstante Zahl wäre. Eine weitere Lösung ist die Nulllösung, die wir bei der Angabe der Lösung nicht vergessen dürfen!