Das Newton-Verfahren dient zur Annäherung an Nullstellen; durch das immer wieder neu Einsetzen des Ergebnisses in die Newton-Formel nähert man die Nachkommastellen der Nullstelle immer mehr an. Diese Art von Verfahren nennt man Iterationsverfahren.
Iterationsformel:
Das Newton-Verfahren
Details anzeigen
Wenn man einen Punkt in der Nähe der Nullstelle hat, berechnet man die Tangente an den Graphen der Funktion und bestimmt als Nullstelle dieser Tangenten, So erhält man eine bessere Näherung und setzt dieses Verfahren so lange fort, bis man die gewünschte Genauigkeit erreicht hat.
Da gewisse Nullstellen nicht genau bestimmbar sind, wird das Newton-Verfahren eingesetzt, um Nullstellen anzunähern. Um diese zu berechnen, benötigst du die Ableitung.
Beispiel:
Nullstelle von
Überprüfe, ob du nicht andere Lösungswege benutzen kannst!
Details anzeigen
Nutze das Newton-Verfahren nur, wenn es keine andere Lösungsmöglichkeit zur Bestimmung deiner Nullstelle gibt, da du dich mit diesem Verfahren der Nullstelle nur annäherst.
Nutze, wenn es möglich ist:
Termumformungen und Ausklammern Mitternachtsformel pq-Formel Systematisches Probieren (Notfalls)
Dies bedeutet, dass Ergebnisse eines Schrittes wieder als Ausgangswert für den jeweils nächsten Schritt genommen werden. Dies kannst du in der Graphik mit der Rechenmaschine erkennen.
Beispiel:
So erhältst du :
Falls du ein Intervall gegeben hast, in dem deine Nullstelle liegt, bietet es sich an, die Mitte des Intervalls zu wählen
Beispiel: Die Nullstelle liegt im Intervall Wähle also
Falls kein Intervall gegeben ist, kannst du durch eine Wertetabelle bestimmen, eine Skizze kann dir ebenfalls helfen, notfalls kannst du auch raten. Das Newton-Verfahren kann aber auch schiefgehen, wenn du als eine Extremstelle wählst. Falls dein sehr weit von der Nullstelle entfernt ist, brauchst du sehr, sehr viele Iterationsschritte. Du versuchst also dein möglichst nahe der Nullstelle zu wählen.
Bestimmung von durch eine Wertetabelle:
- Lege eine Wertetabelle der Funktion an, mit - Werten, in deren Umgebung du die Nullstelle vermutest. (Eine Skizze hilft dir.)
- Suche nach einem Vorzeichenwechsel der Funktionswerte.
- Die Nullstelle liegt zwischen den -Werten, deren Funktionswerte einen Vorzeichenwechsel haben.
Beispiel:
-3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
-43 | -20 | -9 | -4 | 1 | 12 | 35 |
Vorzeichenwechsel im Intervall wähle z.B.
So erhältst du deine angenäherte Lösung:
Je länger du das Verfahren anwendest, desto näher kommst du an die Nullstelle. Ein Ziel deiner Näherung könnte sein, die ersten drei Nachkommastellen korrekt zu bestimmen. Wenn sich nach mehreren Iterationsschritten deine drei Nachkommastellen nicht mehr ändern, kannst du davon ausgehen, dass du am Ziel bist.
Beispiel:
Die Nullstelle liegt bei ca. .
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Vereinfachung für den Taschenrechner
Details anzeigen
Die Iterationsformel immer wieder in den Taschenrechner einzugeben, ohne durcheinander zu kommen, erfordert eine gewisse Konzentration. Um es ein wenig leichter zu machen, gibt es eine gute Möglichkeit das Newtonverfahren mit dem Taschenrechner zu benutzen.
Dafür braucht man nur fünf Schritte:
1. Den Wert von auf einspeichern:
Wert von eingeben, Shift drücken, RCL drücken und dann auf die Taste drücken, über der das steht. Durch Shift, RCL wird STO betätigt und somit der eingegebene Wert auf die nächste Taste in diesem Fall auf gespeichert.
Resultat:
2. auf einspeichern:
Die Gleichung von in den Taschenrechner eingeben, aber statt eintippen (erleichtert schon in diesem Schritt das Eintippen, dadurch, dass nicht immer der Wert, sondern nur getippt werden muss). Dann den Wert von auf einspeichern wie bei Schritt 1.
Resultat:
3. auf einspeichern:
Die Gleichung von wie bei Schritt 2 eingeben und auf einspeichern.
Resultat:
4. eingeben Wert =
5. in einspeichern:
Wie bei Schritt 1.
Resultat:
Diese Schritte wiederholt man, bis man die geforderte Genauigkeit der Nullstelle berechnet hat. Man kann sich auch zusätzlich eine Tabelle anlegen, damit man die einzelnen Schritte noch festhalten kann.
Wenn man nur speichert und die Iterationsformel durch vorheriges Einsetzen vereinfacht, kann man auch nur diese vereinfachte Formel mit statt eingeben, das Ergebnis wieder auf speichern und die Rechnung so lange durchführen bis das gewünschte Ergebnis erreicht ist.
Ausführlicher Lösungsweg
Du benötigst | Ergebnis | Erhältst du durch |
|---|---|---|
Berechnen |
Wertetabelle:
Setze verschiedene Werte, für ein, um jeweils nach dem y-Wert aufzulösen. Trage dies anschließend in eine Wertetabelle ein und finde den Übergang vom Positiven/Negativen, diese zwei Punkte stellen dann dein Intervall dar. Beim Wählen beachte, dass keine Extremstelle darstellen darf.
Beispiel:
-7 |
Vorzeichenwechsel im Intervall wähle z.B. .
Details anzeigen
- Ableitung von ist
- Berechne die Nullstellen von
- Erstelle eine Vorzeichentabelle Die Vorzeichentabelle stellt das Verhältnis zwischen dem An- und Absteigen der Funktion und dem Zahlenstrahl dar.
Monotonieverhalten:
- berechne die Ableitung von
- berechne die Nullstellen der Ableitung
- Erstelle eine Vorzeichentabelle
- Setze die Nullstellen der Ableitung als in ein und berechne so .
- Setze Werte rund um die Extrema als in ein und finde den Übergang von ins Positive/Negative
- dieser Bereich stellt das Intervall, in dem sich die Nullstelle befindet, dar.
- Falls du bei den einzelnen Punkten Hilfe brauchst, dann gehe auf den Artikel zu Monotonieverhalten und schau dir den ausführlichen Lösungsweg an.
- Berechne den -Wert für und
lokales Maximum:
lokales Minimum:
- Intervall festlegen
- Aus diesen Berechnungen erschließt sich, dass die Nullstelle sich im Intervall befindet, da die Mitte des Intervalls bei liegt, nehmen wir
Ausführliches Beispiel
Berechnung | Erklärung |
|---|---|
Setze und in die Formel ein und berechne . | |
Setze und in die Formel ein und berechne . | |
Setze und in die Formel ein und berechne . | |
Setze und in die Formel ein. Und löse nach auf. |
ist die Annäherung der Nullstelle bis zur Nachkommastelle von
Eingebetteter Serlo-Inhalt