Berechne mit Hilfe des Newtonsches Näherungsverfahren die Nullstellen folgender Funktionen auf zwei Nachkommastellen genau.
Lösung anzeigen
Wertetabelle
Erstelle eine Wertetabelle um die Lage der Nullstellen einschränken zu können.
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
f(x) | -58 | -18 | 0 | 2 | -6 | -18 | -28 | -30 | -18 | 14 |
Bestimmen der Intervalle
Eine Nullstelle kann direkt aus der Tabelle abgelesen werden:
Man sieht außerdem, dass die Funktion in den Intervallen und ihr Vorzeichen ändert.
Daraus folgt für die Nullstellen
und
Um die Intervalle weiter zu verkleinern und so einen besseren Anfangswert für das Newton-Verfahren zu bekommen, berechnet man den Funktionswert der Mittelwerte der ausgewählten Intervalle:
x | 0 | 0,5 | 1 | 5 | 5,5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
f(x) | 2 | -1,125 | -6 | -18 | -4,875 | 14 |
Man sieht nun, dass die Funktion in den Intervallen und ihr Vorzeichen ändert.
Daraus folgt für die Nullstellen
und
Anwenden des Newton-Verfahrens
Bestimmen der Nullstellen
Man wählt einen beliebigen Wert aus dem Intervall , z.B. .
Man berechnet jetzt mit der oben angegebenen Rekursionsformel.
Dann berechnet man mit dem gerade berechneten und der oben angegebenen Rekursionsformel.
Dann berechnet man mit dem gerade berechneten und der oben angegebenen Rekursionsformel.
Man erkennt jetzt, dass sich die Genauigkeit der Lösung im letzten Schritt nurnoch in der fünften Nachkommastelle verbessert.
Da nur eine Angabe bis auf zwei Nachkommastellen gefordert war, ist man in diesem Schritt fertig und das Ergebnis lautet:
Um zu bestimmen verfährt man analog und erhält für den Startwert folgende Werte:
0 | 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|---|
Und somit erhält man:
Lösung anzeigen
Der natürliche Logarithmus ist nur auf den positiven, reellen Zahlen definiert.
Um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen macht man zuvor eine kurze Vorüberlegung.
Man betrachtet die Nullstellen des natürlichen Logarithmus und stellt folgendes fest:
Sei :
Man sieht, dass die einzige Nullstelle von ist.
Um die Nullstellen von zu approximieren, kann man also die "Einsstellen" der Funktion approximieren, d.h. man sucht die Lösung für die Gleichung .
Da das Newtonverfahren Nullstellen approximiert macht man eine kleine Umformung und erhält:
Wir approximieren also die Nullstellen der Funktion um die Nullstellen von zu finden.
Wertetabelle
-6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
210 | -6 | -70 | -60 | -30 | -10 | -6 | 0 | 50 |
Bestimmen der Intervalle
Eine Nullstelle kann direkt aus der Tabelle abgelesen werden:
Man sieht außerdem, dass die Funktion im Intervallen ihr Vorzeichen ändert.
Daraus folgt für die Nullstellen
Um das Intervall weiter zu verkleinern und so einen besseren Anfangswert für das Newton-Verfahren zu bekommen, berechnet man den Funktionswert der Mittelwerte der ausgewählten Intervalle:
x | -6 | -5,5 | -5 |
|---|---|---|---|
f(x) | 210 | 77,1875 | -6 |
Man sieht nun, dass die Funktion in den Intervallen ihr Vorzeichen ändert.
Daraus folgt für die Nullstellen
Anwenden des Newton-Verfahrens
Bestimmen der Nullstellen
Man wählt einen beliebigen Wert aus dem Intervall , z.B. .
Man berechnet jetzt mit der oben angegebenen Rekursionsformel.
Dann berechnet man mit dem gerade berechneten und der oben angegebenen Rekursionsformel.
Dann berechnet man mit dem gerade berechneten und der oben angegebenen Rekursionsformel.
Man erkennt jetzt, dass sich die Genauigkeit der Lösung im letzten Schritt nur noch in der vierten Nachkommastelle verbessert.
Da nur eine Angabe bis auf zwei Nachkommastellen gefordert war, ist man in diesem Schritt fertig und das Ergebnis lautet:
