Eine Kugel ist im dreidimensionalen Raum das, was im zweidimensionalen Raum ein Kreis ist.
Jede Kugel hat einen Mittelpunkt . Alle Punkte auf der Kugeloberfläche haben den gleichen Abstand zu . Dieser Abstand heißt Radius.
Vergleich von Kreis und Kugel
Kreis | Kugel | |
|---|---|---|
Mittelpunkt | denselben Abstand von Kreislinie zum Mittelpunkt | denselben Abstand von Kugeloberfläche zum Zentrum |
Radius | Strecke zwischen einem Punkt auf der Kreislinie zu ; | Strecke zwischen einem Punkt auf der Kugeloberfläche zu ; |
Dimension | Ein Kreis befindet sich auf einer Ebene. | Eine Kugel befindet sich in einem Raum. |
Zusammenfassung | Bei einem Kreis haben alle Punkte auf einer Ebene denselben Abstand zum Mittelpunkt . | Bei einer Kugel haben alle Punkte in einem Raum denselben Abstand zum Zentrum . |
Formelsammlung
Volumen | |
|---|---|
Oberflächeninhalt | |
Umfang |
Volumen
Wenn man wissen möchte, wie viel Rauminhalt eine Kugel hat, so muss man das Volumen berechnen.
Beispiel
Berechne das Volumen einer Billardkugel, die einen Durchmesser von hat.
Bevor du deinen gegebenen Wert sofort in die neue Formel einsetzt, musst du dir klarmachen, dass sich ein Kreis und eine Kugel hinsichtlich Radius und Durchmesser nicht unterscheiden.
Setze den gegebenen Wert ein.
Nun kannst du den ausgerechneten Wert in die Volumenformel einsetzen.
Setze ein.
Rechne aus und forme ggf. deine Einheit in eine Größere um.
Die Billardkugel hat also ein Volumen von .
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Oberflächeninhalt
Vereinfacht kann man sich eine Oberfläche wie einen Mantel vorstellen, der sich um die geometrische Figur legt. Eine Zeitungsseite kann so zu einem Kegel geformt werden, wenn man sie rollt. Diese Fläche ergibt die Oberfläche.
Wenn man nun die Kugel in Farbe eintaucht, so markiert man dessen Oberflächeninhalt. Mithilfe dieser Fläche kann man z. B. ausrechnen, wie viel Gold man braucht, damit man die Kugel auf der Dachspitze vom Olympiaturm vergolden kann.
Beispiel
Ein offizieller Basketball hat einen Oberflächeninhalt von . Wie groß ist dann der Radius ?
Umformung: :4\pi
Stelle zunächst nach dem Wert um.
Umformung: \sqrt{ }
Ziehe anschließend die Wurzel. Da nur positiv sein kann als Länge, kannst du das negative Ergebnis des Wurzelziehens vernachlässigen.
Setze die gegebenen Werte ein.
Der Radius eines Basketballs ist also .
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Kugelumfang
Der Kugelumfang ist der Umfang an der breitesten Stelle der Kugel. Diese entspricht einem Kreis. Man legt sozusagen ein Maßband um die geometrische Figur und misst die Breite.
Beispiel
Welchen Umfang hat eine Eiskugel mit dem Radius ?
Setze den Wert ein.
Eine Eiskugel hat etwa den Umfang von .
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Kugeln in der analytischen Geometrie
Mehr zu diesem Thema findest du im Artikel "Kugeln in der analytischen Geometrie".
Kugel als Punktmenge
Die Kugel kannst du dir als eine Sammlung ganz ganz vieler Punkte vorstellen. Wenn du jeden Punkt auf der Kugel angibst, ergibt sich daraus eine Menge. Diese heißt Punktmenge.
Alle Punkte der Kugel
Gegeben ist ein Punkt mit den Koordinaten . Dieser liegt auf der Kugeloberfläche. Somit ist der Punkt ein Bestandteil der Kugel . Man schreibt dafür: .
Wenn man nun alle Punkte findet, die auf der Kugeloberfläche liegen, so fällt auf, dass diese Punkte vom Zentrum der Kugel den gleichen Abstand haben.
Da dieselbe Eigenschaft haben und eine Kugel bilden, bildet man aus diesen eine Menge. Besser gesagt, stellt man die Kugel als eine Punktmenge dar.
Die Punktmenge der Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius sieht so aus:
Wie komme ich auf die Punktmenge
Betrachtung im Zweidimensionalen
Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck und zeichne einen Kreis um das Dreieck wie im Bild.
Die Länge der Katheten sind und Der Punkt hat die Koordinaten . Die Strecke hat dieselbe Länge wie der Radius des Kreises, also .
Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
Übergang zum Dreidimensionalen
Das Ganze stelle man sich nun im Dreidimensionalen vor. Da der Punkt nun eine dritte Koordinate hat, muss man den Satz des Pythagoras um eine Dimension erweitern, sodass gilt
So kann man mit der neuen Erweiterung die Punktmenge definieren: