Die gesamte heutige Mathematik ist auf der Mengenlehre aufgebaut. Sie findet Anwendung in vielen Teilgebieten der Mathematik, wie z. B. der Analysis, der Geometrie oder der Stochastik.
Definition und Eigenschaften von Mengen
Definition
Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von wohl unterschiedenen Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte, die zu einer Menge gehören, heißen Elemente.
Eigenschaften
- Elemente von Mengen können zum Beispiel Zahlen, Buchstaben, Wörter oder Mengen selbst sein.
- Eine Menge wird mit einem großen Buchstaben bezeichnet.
- Die Objekte selbst werden in geschweifte Klammern geschrieben. Zum Beispiel sind , , drei Mengen mit jeweils drei Elementen.
- Die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle. So ist die Menge gleich der Menge .
- Die Anzahl eines Elements spielt auch keine Rolle, also ob ein Element mehrfach in einer Menge enthalten ist oder nur einmal.
- In einer Menge gibt es keine Ordnung. Betrachtet man z. B. die Menge aller Kinder in einer Klasse, die älter als sind, dann kann man anhand der Menge nicht sagen, welches Kind das Älteste oder das Jüngste in der Menge ist.
- Außerdem gibt es noch die Möglichkeiten, dass eine Menge gar kein Element enthält, dies ist dann die leere Menge.
Anschauliches Beispiel einer Menge
Quelle: Wikimedia Commons
Darstellung einer Menge
Eine Menge lässt sich auf verschiedene Weisen darstellen. Die Darstellung im Beispiel oben nennt man Venn-Diagramm. Es gibt im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, Mengen aufzuschreiben.
- Entweder zählt man die einzelnen Elemente auf. Das bietet sich vor allem bei endlichen Mengen an, das heißt bei Mengen, die nur eine endliche Anzahl von Elementen besitzen (z. B. ), oder man setzt bei nicht endlichen Mengen Pünktchen. Dazu muss aber klar sein, wie die weiteren Elemente der Menge heißen. So wäre zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen oder die Menge der Quadratzahlen. Aber so etwas wie wäre nicht korrekt, denn man weiß nicht, wie es weitergehen soll.
- Eine zweite Möglichkeit, Mengen zu notieren, ist eine allgemeinere Schreibweise, bei der man eine Eigenschaft aller Elemente einer Menge angibt, z. B.. Hierbei ist "ist ein Musikinstrument" die Eigenschaft. Gelesen wird das: ist die Menge aller , mit der Eigenschaft, dass jedes ein Musikinstrument ist, also ist einfach die Menge aller Musikinstrumente.
Häufig verwendete Notationen
: ist Element von .
: ist nicht Element von .
: Mächtigkeit von , bei endlichen Mengen die Anzahl der Elemente einer Menge.
So bedeutet , dass die Mächtigkeit von gleich der Mächtigkeit von ist. und haben also die gleiche Anzahl an Elementen, nämlich .
Wichtige Mengen
Einige häufig verwendete Mengen sind hier aufgelistet:
Symbol | Mathematische Schreibweise | Beschreibung |
|---|---|---|
Menge der natürlichen Zahlen (die Null ist nicht enthalten) | ||
Menge der natürlichen Zahlen vereinigt mit der Null | ||
Menge der ganzen Zahlen | ||
Menge der rationalen Zahlen | ||
Menge der positiven rationalen Zahlen | ||
Menge der reellen Zahlen, also sowohl abbrechende, periodische als auch nicht periodische Dezimalzahlen | ||
Menge der positiven reellen Zahlen | ||
Menge der komplexen Zahlen | ||
Menge der positiven reellen Zahlen vereinigt mit der Null | ||
leere Menge |
Intervalle als Mengen
Eine weitere, wichtige Art von Mengen sind die Intervalle.
Für gilt:
Intervall | Mathematische Schreibweise | Bedeutung |
|---|---|---|
alle mit Element von und echt kleiner , echt kleiner . Also sind und nicht Elemente des Intervalls. | ||
alle mit Element von und kleiner gleich , echt kleiner . Also ist ein Element und ist nicht Element des Intervalls. | ||
alle mit Element von und echt kleiner , kleiner gleich . Also ist nicht und ist Element des Intervalls. |
Operationen mit Mengen
Man kann Mengen miteinander verknüpfen. Zur Vereinfachung verwendet man verschiedene Symbole für die Grundoperationen.
Teilmenge
Eine Menge heißt Teilmenge der Menge , wenn jedes Element aus auch Element von ist. Eine Teilmenge heißt eigentlich oder echt, wenn weiterhin gilt.
Potenzmenge
Die Menge aller Teilmengen von einer Menge bezeichnet man als Potenzmenge der betreffenden Menge.
Rechenregeln
Für die folgenden Gesetze sind A, B, C Teilmengen der Grundmenge G.
Name des Gesetzes | für Schnittmengen | für Vereinigungsmengen |
|---|---|---|
Kommutativgesetz | ||
Assoziativgesetz | ||
Distributivgesetz | ||
Absorbtionsgesetz | ||
Idempotenzgesetz | ||
Gesetze für die Komplementmenge | ||
de Morgan-Gesetze | ||
Neutrale Elemente | ||
Dominanzgesetz | ||
und G-Komplement | ||
Doppeltes Komplement |
Partition einer Menge
Als Partition (Zerlegung, Klasseneinteilung) einer Menge versteht man eine Menge , deren Elemente nichtleere, disjunkte Teilmengen von sind, sodass aber jedes Element von genau in einem Element aus enthalten ist.
Partitionen der Menge sind also: