Bestimme das Monotonieverhalten der nachfolgenden Funktionen.
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Variante 1
Die Funktion ist ein Polynom und daher (beliebig oft) differenzierbar. Du kannst daher die erste Ableitung von berechnen um das Monotonieverhalten zu bestimmen.
Die erste Ableitung ist also erneut ein Polynom.
Berechne nun die Nullstellen von .
Setze die Funktionsgleichung von ein.
Teile beide Seiten der Gleichung durch .
Die linke Gleichungsseite ist durch ein Polynom zweiten Grades gegeben. Es hat also höchstens zwei reelle Nullstellen. Durch Anwendung der p-q-Formel erhältst du
Dies sind zwei reelle Nullstellen und daher genau die Lösungen der Gleichung.
Da nur diese Nullstellen hat und als Polynom insbesondere reellwertig, auf ganz definiert und stetig ist, kannst du den Zwischenwertsatz verwenden.
Betrachte die Intervalle
,
die zwischen den Nullstellen von liegen.
Wähle beispielsweise
Setze diese in ein.
Somit gilt
womit auf und streng monoton wächst, sowie auf streng monoton fällt.
Variante 2
Bildung der ersten Ableitung:
Der Graph der vorzeichengleichen Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den genannten Nullstellen.Links von der Nullstelle
liegt der Graph oberhalb der x-Achse. Das bedeutet, dass f' in diesem Bereich positiv ist und der Graph von f im Intervall
wachsend und im Intervall
liegt der Graph von f' unterhalb der x-Achse und somit ist f' dort negativ und f fällt.Rechts von x=4 wächst die Funktion dann wieder.Somit liegt an der Stelle
ein Maximum und an der Stelle
ein Minimum.
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Die Funktion ist ein Polynom und daher (beliebig oft) differenzierbar. Du kannst also die erste Ableitung von berechnen, um das Monotonieverhalten zu bestimmen.
Die erste Ableitung ist also erneut ein Polynom.
Berechne nun die Nullstellen von .
Setze die Funktionsgleichung von ein.
Teile beide Seiten der Gleichung durch .
Die linke Gleichungsseite ist durch ein Polynom dritten Grades gegeben. Es hat also höchstens drei reelle Nullstellen.
Die linke Seite der Gleichung ist genau dann gleich , wenn mindestens einer der beiden Faktoren gleich ist. Dadurch kannst du sofort die Nullstelle bei ablesen.
Im zweiten Fall könnte gleich sein.
Durch Anwendung der Mitternachtsformel erhältst du
Somit sind alle drei Nullstellen von reell.
Da nur diese Nullstellen hat und als Polynom insbesondere reellwertig, auf ganz definiert und stetig ist, kannst du den Zwischenwertsatz verwenden.
Betrachte die Intervalle
,
die zwischen den Nullstellen von liegen.
Wähle beispielsweise
Setze diese in ein.
Somit gilt
womit auf und streng monoton wächst, sowie auf und streng monoton fällt.
Anmerkung zum obigen Bild
In diesem Bild, sieht es so aus, als ob die Funktion durch den Wert geht. Das ist aber hier nur der Fall, weil zu weit reingezoomt wurde, damit man die gesamte Funktion, insbesondere das Minimum bei sieht ;) Daher folgt nochmal ein Bild von der Funktion ohne den unteren Part mit dem Minimum bei :
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Die Funktion ist ein Quotient zweier Polyonme, du kannst daher die erste Ableitung mit der Quotientenregel berechnen um das Monotonieverhalten zu bestimmen.
Nullstelle von (also Extrema von ) berechnen:
Die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion sind gleichzeitig die Nullstellen des Zählers.
Vereinfache diesen Ausdruck:
Nun kann man ganz leicht die Nullstellen der 1. Ableitung (die Extrema von ) ablesen.
Hier wird nun der Weg mit der Monotonietabelle gewählt, da die 2. Ableitung relativ kompliziert ist. Man muss allerdings bei der Monotonietabelle die Polstellen der Funktion beachten.
und
Berechnen der Polstelle . Suche also die Nullstellen des Nenners von . (Übrigens haben und immer dieselben Polstellen.)
Faktorisiere nun die 1. Ableitung.
Erstelle eine Vorzeichentabelle.
Achtung: Polstelle nicht vergessen!
Nun kann man aus der Vorzeichentabelle das Monotonieverhalten ganz einfach ablesen. Steht in der letzten Zeile ein Minus ist die Funktion in diesem Bereich streng monoton fallend, steht dort ein Plus ist die Funktion streng monoton steigend.
: ist streng monoton steigend
: ist streng monoton fallend
: ist streng monoton fallend
ist streng monoton steigend
Achtung:
Man darf die beiden Intervalle und nicht zu einem Intervall zusammenlegen, da die Funktion und damit die Monotonie an dem Wert nicht definiert ist.